On the structure of the pro-p Iwahori-Hecke Ext-algebra

In dieser Arbeit untersuchen wir zwei Probleme bezüglich der pro-p Iwahori-Hecke Ext-Algebra. Dieses von Ollivier und Schneider eingeführte Objekt ist eine graduierte Algebra, die im Zusammenhang mit glatten mod p-Darstellungen von p-adischen reduktiven Gruppen eine wichtige Rolle spielt. Das erste...

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Verfasser: Bodon, Emanuele
Weitere Beteiligte: Schneider, Peter (Gutachter)
FB/Einrichtung:FB 10: Mathematik und Informatik
Dokumenttypen:Dissertation/Habilitation
Medientypen:Text
Erscheinungsdatum:2021
Publikation in MIAMI:06.04.2022
Datum der letzten Änderung:06.04.2022
Angaben zur Ausgabe:[Electronic ed.]
Schlagwörter:p-adische reduktive Gruppe; pro-p Iwahori Untergruppe; Hecke-Algebren; Ext-Algebren; Darstellungstheorie; Zahlentheorie; Arithmetik p-adic Reductive Groups; pro-p Iwahori Subgroup; Hecke Algebras; Ext-algebras; Representation Theory; Number Theory; Arithmetics
Fachgebiet (DDC):510: Mathematik
Lizenz:CC BY 4.0
Sprache:Englisch
Hochschulschriftenvermerk:Münster (Westfalen), Univ., Diss., 2022
Format:PDF-Dokument
URN:urn:nbn:de:hbz:6-04049440823
Weitere Identifikatoren:DOI: 10.17879/04049443363
Permalink:https://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:hbz:6-04049440823
Onlinezugriff:diss_bodon.pdf
Inhaltsverzeichnis:
  • Introduction 1
  • Acknowledgments 11
  • 1 Background 13
  • 1.1 General setting and notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
  • 1.2 Some notions and facts from Bruhat-Tits theory . . . . . . . . . . . 14
  • 1.3 The pro-p Iwahori subgroup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
  • 1.4 The pro-p Iwahori-Hecke algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
  • 1.4.a Definition and Iwahori-Matsumoto presentation . . . . . . . 21
  • 1.4.b Bernstein presentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
  • 1.4.c Idempotents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
  • 1.5 The pro-p Iwahori-Hecke algebra for SL2 . . . . . . . . . . . . . . . 26
  • 1.6 The centre of the pro-p Iwahori-Hecke algebra . . . . . . . . . . . . 29
  • 1.7 The centre of the pro-p Iwahori-Hecke algebra for SL2 . . . . . . . . 30
  • 1.8 Some results on the cohomology of pro-p groups . . . . . . . . . . . . 32
  • 1.9 The Ext-algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
  • 1.9.a Definition and description in terms of group cohomology . . . 34
  • 1.9.b Shapiro isomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
  • 1.9.c Cup product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
  • 1.9.d The product in the Ext-algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
  • 1.9.e Anti-involution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
  • 1.9.f Duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
  • 1.9.g The top graded piece . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
  • 1.9.h Filtrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
  • 1.10 The Ext-algebra for SL2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
  • 1.10.a Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
  • 1.10.b The 1st graded piece E1: elements as triples . . . . . . . . . . 45
  • 1.10.c The 1st graded piece E1: explicit formulas . . . . . . . . . . . 46
  • 1.10.d The 1st graded piece E1: the E0-bimodule structure . . . . . 50
  • 1.10.e The 2nd graded piece E2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
  • 1.10.f The top graded piece Ed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
  • 2 The centre of the Ext-algebra for SL2(Qp) with p 6= 2; 3 57
  • 2.1 Summary of the results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
  • 2.2 The top graded piece of the centre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
  • 2.3 Structure of top graded piece of the centre as a Z(E0)-module . . . 63
  • 2.3.a Assumptions and preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
  • 2.3.b The components eGammaZ(E*)d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
  • 2.3.c Final description of the structure of Z(E*)d as a Z(E0)-module 70
  • 2.4 The 0th graded piece of the centre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
  • 2.5 The 1st graded piece of the centre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
  • 2.6 The 2nd graded piece of the centre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
  • 2.6.a Computation of ZE0(E2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
  • 2.6.b Rewrite of the basis of ZE0(E2) . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
  • 2.6.c Computation of Z(E*)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
  • 2.7 Structure of the 2nd graded piece of the centre as a Z(E0)-module . 92
  • 2.8 Multiplicative structure of Z(E*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
  • 3 The Ext-algebra for more general groups: low graded pieces of the
  • centre and other remarks 99
  • 3.1 The 0th graded piece of the centre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
  • 3.1.a Statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
  • 3.1.b Proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
  • 3.2 The 1st graded piece of the centre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
  • 3.2.a Summary of the results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
  • 3.2.b A first lemma about ZE0(E1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
  • 3.2.c The 1st graded piece of the centre for unramified extensions of
  • Qp: partial description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
  • 3.2.d Results about split tori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
  • 3.2.e A result about the fundamental group . . . . . . . . . . . . . 129
  • 3.2.f Results about the commutator subgroup of the group of rational
  • points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
  • 3.2.g The 1st graded piece of the centre for unramified extensions of
  • Qp: full description in the general case . . . . . . . . . . . . . 135
  • 3.2.h Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
  • 3.2.i A remark about a graded-commutative algebra inside E* . . 143
  • 3.2.j The 1st graded piece of the centre for unramified extensions of
  • Qp: special cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
  • 3.2.k A remark about the ramified case . . . . . . . . . . . . . . . . 154
  • 3.3 "Toric" subalgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
  • 4 The Ext-algebra and the tensor algebra of E1 for SL2(Qp) with
  • p 6= 2; 3 167
  • 4.1 E* is generated by E1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
  • 4.2 Counterexample: E* is not generated by E1 in the case G = SL2(Q3) 171
  • 4.3 The tensor algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
  • 4.4 An "algorithm" for the computation of kernels . . . . . . . . . . . . 175
  • 4.5 The kernel in degree 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
  • 4.5.a Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
  • 4.5.b Generators of T2E0E1 as an E0-bimodule . . . . . . . . . . . . 177
  • 4.5.c A section of the multiplication map in degree 2 . . . . . . . . 179
  • 4.5.d Computation of the kernel in degree 2 . . . . . . . . . . . . . 188
  • 4.6 The kernel in degree 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
  • 4.6.a A section of the multiplication map in degree 3 . . . . . . . . 198
  • 4.6.b Computation of the kernel in degree 3 . . . . . . . . . . . . . 202
  • 4.7 The kernel in degree 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
  • 4.8 Main result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
  • 4.9 The ideal ker(M) is not generated by its 2nd graded piece . . . . . . 210
  • 4.10 The Ext-algebra in terms of generators and relations . . . . . . . . . 225
  • Bibliography 239.

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