On the Classifying Space for the Family of Virtually Cyclic Subgroups

Sei VC die Familie der virtuell zyklischen Untergruppen einer Gruppe. In der vorliegenden Arbeit werden für bestimmte Klassen diskreter Gruppen G (etwa für worthyperbolische und kristallographische) explizite Modelle des klassifizierenden Raums E_VC(G) konstruiert. Unter anderem wird die minimale Di...

Author: Weiermann, Michael
Further contributors: Lück, Wolfgang (Thesis advisor)
Division/Institute:FB 10: Mathematik und Informatik
Document types:Doctoral thesis
Media types:Text
Publication date:2006
Date of publication on miami:28.01.2007
Modification date:08.03.2016
Edition statement:[Electronic ed.]
Subjects:klassifizierender Raum; Familie der virtuell zyklischen Untergruppen; G-CW-Komplex; Farrell-Jones-Vermutung; äquivariante Homologietheorie; mittelbare Gruppenoperation
DDC Subject:510: Mathematik
License:InC 1.0
Language:English
Format:PDF document
URN:urn:nbn:de:hbz:6-79599466299
Permalink:http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:hbz:6-79599466299
Digital documents:diss_weiermann.pdf

Sei VC die Familie der virtuell zyklischen Untergruppen einer Gruppe. In der vorliegenden Arbeit werden für bestimmte Klassen diskreter Gruppen G (etwa für worthyperbolische und kristallographische) explizite Modelle des klassifizierenden Raums E_VC(G) konstruiert. Unter anderem wird die minimale Dimension abgeschätzt, die solche Modelle haben können, und es wird gezeigt, wie sich die Homologiegruppen H_n(E_VC(G);KR) einfacher berechnen lassen, die laut Farrell-Jones-Vermutung gerade die algebraische K-Theorie des Gruppenrings RG sein sollten. Im abschließenden Teil der Arbeit werden mittelbare Operationen diskreter Gruppen untersucht. Dabei wird gezeigt, dass die G-Operation auf einem G-CW-Komplex bereits dann mittelbar ist, wenn alle Isotropiegruppen ein invariantes Mittel zulassen.

Let VC denote the family of all virtually cyclic subgroups of a group. In this thesis, we construct explicit models for the classifying space E_VC(G) when G belongs to a certain class of discrete groups including, for example, word-hyperbolic or crystallographic groups. Among other things, we present bounds for the minimal dimension these models can have. Furthermore, we show how the homology groups H_n(E_VC(G);KR) simplify, which are, according to the Farrell-Jones conjecture, just the algebraic K-theory of the group ring RG. In the last chapter, we discuss amenable actions of discrete groups. It is proved that the G-action on a G-CW-complex is amenable provided that all isotropy groups admit an invariant mean.