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Filtering the assembly map in algebraic K-theory and transfer reducibility of Z n Z

Diese Arbeit verfolgt zwei Fragen, die im Zusammenhang mit der Farrell-Jones-Vermutung stehen. Zum Einen werden gewisse Kategorien von Auflösungen, welche auf Waldhausen zurückgehen, verallgemeinert, um eine Spektralsequenz zu konstruieren, die gegen die K-Theorie eines gegebenen Gruppenrings konvergiert. Diese Spektralsequenz ist vermöge der Assemblyabbildung kompatibel mit der Atiyah-Hirzebruch-Spektralsequenz des klassifizierenden Raums. Zum Anderen wird ein Satz von Oliver über fixpunktfreie Wirkungen endlicher Gruppen dazu verwendet, die Transferreduzibilität von Z^n \rtimes Z im Sinne von Bartels-Lück-Reich zu zeigen.

The present thesis addresses two aspects of the Farrell-Jones Conjecture. First, we generalise certain categories of resolutions due to Waldhausen to construct a spectral sequence converging to the K-theory of a given group ring, and show that this spectral sequence is compatible with the Atiyah-Hirzebruch spectral sequence of the classifying space under the assembly map. Second, we apply a theorem due to Oliver on fixed-point free actions of finite groups to show that Z^n \rtimes Z is transfer reducible in the sense of Bartels-Lück-Reich.

Titel: Filtering the assembly map in algebraic K-theory and transfer reducibility of Z n Z
Verfasser: Winges, Christoph GND
Gutachter: Bartels, Arthur GND
Organisation: FB 10: Mathematik und Informatik
Dokumenttyp: Dissertation/Habilitation
Medientyp: Text
Erscheinungsdatum: 2014
Publikation in MIAMI: 02.07.2014
Datum der letzten Änderung: 11.08.2016
Schlagwörter: Farrell-Jones-Vermutung, Mayer-Vietoris-Auflösung, Assembly, Auflösung von Fixpunkten, Transferreduzibilität
Farrell-Jones Conjecture, Mayer-Vietoris resolution, assembly, resolution of fixed points, transfer reducibility
Fachgebiete: Mathematik
Sprache: Englisch
Format: PDF-Dokument
URN: urn:nbn:de:hbz:6-12389454367
Permalink: https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:hbz:6-12389454367
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Inhalt:
Introduction v
I. Filtering the Assembly Map in Algebraic K-Theory 1
1. Preliminaries 3
1.1. Waldhausen categories and algebraic K-theory . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Constructions on simplicial sets and spectra . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3. Models for the K-theory of additive categories . . . . . . . . . . . . . 14
2. Filtering the algebraic K-theory of group rings 19
2.1. The category WG(X;K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.1. Functoriality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.2. The category of Mayer-Vietoris resolutions MVG(X;K) . . . . 25
2.2. The forgetful functor MVG(X) ! Ch(A[G]) . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3. A glimpse of a spectral sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3. Filtering the assembly map 59
A. The homotopy fibration of a filtering subcategory 73
B. Maps of Grothendieck constructions 79
C. Representing elements in the K1-group of an additive category 81
II. Transfer Reducibility of Zn o Z 87
4. Finite group actions with small stabilisers 89
4.1. Resolving fixed points of simplicial complexes . . . . . . . . . . . . . . 89
4.2. Oliver’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5. Applications 107
5.1. An application in the algebraic K-theory of spaces . . . . . . . . . . . 107
5.2. An application in linear algebraic K-theory . . . . . . . . . . . . . . . 113
Index of notation 125
Bibliography 129