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Madsen-Tillmann-Weiss spectra and a signature promblem for manifolds

Diese Arbeit beschäftigt sich mit Madsen-Tillmann-Weiss-Spektren und ihren Homotopie-Gruppen. Da sie Thom-Spektren sind, lassen ihre Homotopie-Gruppen Interpretationen als bestimmte Bordismengruppen zu. Für eine beliebige tangentiale Struktur gibt es eine assoziierte Kofaser-Sequenz von Spektren, und nach Interpretation der induzierten Abbildungen auf Homotopie-Gruppen werden einige explizite Berechnungen dieser Gruppen durchgeführt. In dem speziellen Fall, in dem die tangentiale Struktur Orientierung ist, sind Mannigfaltigkeiten, die Elemente dieser Bordismusgruppen repräsentieren, orientiert und so werden ihre Signaturen definiert. Dies führt zu einem Signatur Problem: ``Was sind die möglichen Signaturen von Elementen dieser Gruppen?'' Dieses Problem ist für bestimmte kleine Grade gelöst.

Titel: Madsen-Tillmann-Weiss spectra and a signature promblem for manifolds
Weitere Titel Madsen Tillmann Weiss spectra and a signature promblem for manifolds
Verfasser: Gollinger, William GND
Gutachter: Ebert, Johannes
Organisation: FB 10: Mathematik und Informatik
Dokumenttyp: Dissertation/Habilitation
Medientyp: Text
Erscheinungsdatum: 2016
Publikation in MIAMI: 06.02.2017
Datum der letzten Änderung: 06.02.2017
Schlagwörter: Topologie; Algebraische Topologie; Euler-Klasse; Bordismus; Madsen-Weiss; Signatur
Fachgebiete: Mathematik
Sprache: Englisch
Format: PDF-Dokument
URN: urn:nbn:de:hbz:6-93229630152
Permalink: https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:hbz:6-93229630152
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Inhalt:
Introduction v
1 Preliminaries 1
1.1 Fundamental Notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Homotopy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Bundles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3 Stiefel and Grassmann Manifolds . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.4 The Vertical Tangent Bundle of a Vector Bundle . . . . . 6
1.1.5 The Signature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 The Spectrum MTd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Definition of Madsen-Tillmann-Weiss Spectra . . . . . . 8
1.2.2 Bordism Interpretation of Homotopy Groups . . . . . . . 10
2 The Signature Problem 13
2.1 Stable Span Versus Span . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 The Hands-On Cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Span Versus Signature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 Examples and Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3 A Cofibre Sequence and Some Computations 29
3.1 The Cofibre Sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2 Interpretting Induced Maps on Homotopy Groups . . . . . . . . 35
3.3 Some Computations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
A The Euler Class 47
A.1 Basics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
A.2 Lemma About Homotopy Fibres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
A.3 Proof of Theorem A1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
A.4 Proof of Theorem A2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Notation 59