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Unfitted discontinuous Galerkin schemes for applications with PDEs on complex-shaped surfaces

Die UDG-Methode ermöglicht konservative DG-Diskretisierungen partieller Differentialgleichungen (PDEs) auf der Basis von Cut-Cell-Gittern. Sie eignet sich daher besonders zur Lösung von Kontinuitätsgleichungen auf Gebieten mit komplizierten Rändern. In dieser Arbeit zeigen wir, wie sich die Methode auf PDEs auf gekrümmten Oberflächen übertragen lässt. Wir stellen UDG-Verfahren für eine biologisch motivierte Klasse von Modellproblemen vor, die Kontinuitätsgleichungen in einem potentiell zeitabhängigen Gebiet und auf dessen Oberfläche umfasst. Unsere Ansätze kombinieren höherdimensionale Erweiterungen von Oberflächen-PDEs mit Konzepten von Spur-Finite-Elemente-Methoden. Dies resultiert in Verfahren mit vorteilhaften Eigenschaften. Physikalische Erhaltungseigenschaften werden etwa im diskreten Sinne abgebildet und bestehende Implementierungen der UDG-Methode können wiederverwendet werden. Ein hohes Maß an geometrischer Flexibilität wird dabei durch den Einsatz der Level-Set-Methode erreicht. Mittels theoretischer und numerischer Studien zeigen wir, dass unsere Ansätze vielversprechende Verfahren für die betrachtete Klasse von Modellproblemen liefern.

The UDG method allows for conservative DG discretizations of partial differential equations (PDEs) based on cut cell meshes. It is hence particularly suitable for solving continuity equations on complex-shaped bulk domains. In this thesis, we show how the method can be transferred to PDEs on curved surfaces. We introduce UDG schemes for a class of model problems that is biologically motivated and comprises continuity equations on a potentially time-dependent bulk domain and its surface. Our approaches combine ideas of methods that extend surface PDEs to higher-dimensional bulk domains with concepts of trace finite element methods. This results in schemes with favorable properties, such as the recovery of discrete analogues to conservation laws that are embedded in the PDEs, and the reusability of existing implementations of the UDG method. At the same time, a high degree of geometric flexibility is achieved by using a level set representation of the geometry. We present theoretical investigations and numerical results which demonstrate that our computational approaches to surface PDEs yield promising schemes for the considered class of model problems.

Titel: Unfitted discontinuous Galerkin schemes for applications with PDEs on complex-shaped surfaces
Verfasser: Westerheide, Sebastian GND
Gutachter: Engwer, Christian GND
Organisation: FB 10: Mathematik und Informatik
Dokumenttyp: Dissertation/Habilitation
Medientyp: Text
Erscheinungsdatum: 2018
Publikation in MIAMI: 27.08.2018
Datum der letzten Änderung: 30.08.2018
Schlagwörter: unfitted DG; Cut-Cell-Methoden; Spur-FEM; partielle Differentialgleichungen auf Oberflächen; Erhaltungsgleichungen; bewegte Geometrie; Level-Set-Methoden
unfitted DG; cut cell methods; trace FEM; surface PDEs; conservation laws; moving domain; level set methods
Fachgebiete: Mathematik
Sprache: Englisch
Format: PDF-Dokument
URN: urn:nbn:de:hbz:6-17169560561
Permalink: https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:hbz:6-17169560561
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Inhalt:
List of Figures xi
List of Tables xv
1. Introduction 1
1.1. Bulk PDEs and surface PDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1. Continuity equations on static geometries . . . . . . . . 6
1.1.2. Continuity equations on evolving geometries . . . . . . . 8
1.1.3. Non-conservative equations . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2. A class of bulk–surface models . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3. Numerical methods for bulk PDEs and surface PDEs . . . . . . 12
1.3.1. Classical mesh-based methods . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.2. Geometrically unfitted mesh-based methods . . . . . . . 17
1.4. Studying spatial features in basic cell polarization models using
a classical mesh-based finite element scheme . . . . . . . . . . . 25
1.4.1. Basic cell polarization models . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4.2. A classical mesh-based finite element scheme . . . . . . 26
1.4.3. Results of the study . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.5. Challenges in applications with PDEs on complex-shaped surfaces 30
1.6. Contributions and outline of this thesis . . . . . . . . . . . . . . 36
2. Essential concepts from elementary differential geometry 39
2.1. Surface differential operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2. A closer look at surface divergence . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2.1. Surface divergence of the tangential/normal component
of a surface vector field and the notion of curvature . . 43
2.2.2. Splitted representation of surface divergence . . . . . . . 46
2.2.3. Additional remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3. Surface divergence in the level set framework . . . . . . . . . . 48
2.4. Integral calculus on hypersurfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.5. Integration of those concepts into the time-dependent case . . . 53
2.5.1. Time-dependent fields on static hypersurfaces . . . . . . 53
2.5.2. Evolving hypersurfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.6. Additional calculus on evolving hypersurfaces . . . . . . . . . . 55
2.6.1. Conservative material transport in the level set framework 57
3. Further mathematical background 59
3.1. Conservation laws and continuity equations . . . . . . . . . . . 59
3.1.1. Conserved quantities on hypersurfaces . . . . . . . . . . 60
3.1.2. Conserved quantities in bulk domains . . . . . . . . . . 62
3.1.3. Additional remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2. Fitted DG methods for elliptic and parabolic bulk PDEs . . . . 64
3.2.1. Obtaining DG methods by choosing numerical fluxes . . 64
3.2.2. The classical SIPG formulation and related approaches . 72
3.2.3. The SWIPG formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.2.4. Spatial discretization of parabolic equations . . . . . . . 78
3.2.5. Semidiscrete conservation properties . . . . . . . . . . . 80
3.3. Implicit geometry description using the level set framework . . 82
3.3.1. The level set framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.3.2. Individual assumptions and definitions in this thesis . . 88
4. Unfitted DG schemes for coupled bulk–surface PDEs on complex
static geometries 91
4.1. Classes of static geometry model problems . . . . . . . . . . . . 92
4.1.1. A class of parabolic model problems . . . . . . . . . . . 92
4.1.2. A class of elliptic model problems . . . . . . . . . . . . . 94
4.2. The approaches and corresponding schemes . . . . . . . . . . . 94
4.2.1. An extension process for surface equations . . . . . . . . 94
4.2.2. Unfitted discontinuous Galerkin . . . . . . . . . . . . . . 104
4.2.3. Recovering discrete analogues to original conservation
properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.2.4. Stabilization strategies with respect to the surface part
of the solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.2.5. Fully discrete schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.3. Numerical results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.3.1. Linear elliptic model problems . . . . . . . . . . . . . . 127
4.3.2. Linear parabolic model problems . . . . . . . . . . . . . 154
4.3.3. Application: Nonlinear parabolic models for cell polarization
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
4.4. Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
4.4.1. Future perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
5. Toward unfitted DG schemes for coupled bulk–surface PDEs on
evolving geometries 177
5.1. A class of evolving geometry model problems . . . . . . . . . . 178
5.1.1. Reminder and derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5.2. Simplifying the problem using operator splitting . . . . . . . . 180
5.2.1. Operator splitting for PDEs on evolving geometries . . 180
5.2.2. Specific operator splitting methods for PDEs on evolving
geometries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
5.2.3. Related splitting approaches . . . . . . . . . . . . . . . 186
5.2.4. Treating the resulting subproblems . . . . . . . . . . . . 187
5.3. An unfitted DG scheme for an essential type of continuity equations
on evolving hypersurfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
5.3.1. Approximate reformulation of surface equations . . . . . 189
5.3.2. Unfitted discontinuous Galerkin . . . . . . . . . . . . . . 192
5.3.3. Remarks on choosing extended data functions . . . . . . 197
5.3.4. Global conservation properties . . . . . . . . . . . . . . 197
5.3.5. Understanding the scheme in one dimension . . . . . . . 198
5.3.6. Numerical results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
5.4. Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
5.4.1. Future perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
6. Conclusion 213
A. Software 215
A.1. DUNE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
A.2. The dune-udg-bulksurface module . . . . . . . . . . . . . . . 218
A.3. The dune-udg-evolving module . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
B. The condition number of a matrix 223
B.1. Basic definitions and facts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
B.2. Theory from linear algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
B.2.1. Eigenvalues of Hermitian matrices . . . . . . . . . . . . 227
B.2.2. Singular values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
B.3. The spectral condition number of a matrix . . . . . . . . . . . . 231
B.4. Numerical computation of eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . 232
B.4.1. Power iteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
B.4.2. Inverse iteration with shift . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
B.4.3. Rayleigh quotient iteration . . . . . . . . . . . . . . . . 237
B.4.4. The TLIME algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
B.4.5. Application to computing the spectral condition number 241
B.5. Implementation in the dune-istl module . . . . . . . . . . . . 242
C. Basic terminology and facts from elementary differential geometry 249
C.1. Hypersurfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
C.2. Smoothness assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
List of Symbols 251
List of Acronyms 259
Bibliography 261