Erweiterte Suche

A dimensional reduction approach based on the application of reduced basis methods in the context of hierarchical model reduction

In dieser Dissertation wird vor dem Anwendungshintergrund von Grundwasserströmungen eine neue Dimensionsreduktionsmethode hergeleitet, welche reduzierte Basistechniken zur Generierung von Basisfunktionen innerhalb der hierarchischen Modellreduktionsmethode anwendet. Dabei wird entlang der dominanten Fließrichtung des betrachteten Phänomens ein Standarddiskretisierungsverfahren eingesetzt und mit optimal an das Problem angepassten hierarchischen Basisfunktionen in transversaler Richtung kombiniert. Die hierarchischen Basen werden hierbei mit reduzierte Basistechniken aus Lösungen von in der Arbeit hergeleiteten parameterabhängigen niederdimensionalen Problemen ausgewählt. In einem zweiten Schritt wird die vorgeschlagene Dimensionsreduktionsmethode weiterentwickelt um auch nichtlineare Differentialgleichungen effizient behandeln zu können. In numerischen Experimenten für lineare und nichtlineare Differentialgleichungen wird die schnelle Konvergenz und Effizienz der Methode nachgewiesen.

Titel: A dimensional reduction approach based on the application of reduced basis methods in the context of hierarchical model reduction
Verfasser: Smetana, Kathrin GND
Gutachter: Ohlberger, Mario GND
Organisation: FB 10: Mathematik und Informatik
Dokumenttyp: Dissertation/Habilitation
Medientyp: Text
Erscheinungsdatum: 11.12.2013
Publikation in MIAMI: 11.12.2013
Datum der letzten Änderung: 27.07.2015
Schlagwörter: partielle Differentialgleichungen; finite Elemente; Dimensionsreduktion; adaptive Modellierung; hierarchische Modellreduktion; reduzierte Basis-Methoden; A posteriori Fehlerschätzer
Fachgebiete: Mathematik
Sprache: Englisch
Format: PDF-Dokument
URN: urn:nbn:de:hbz:6-54389453356
Permalink: https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:hbz:6-54389453356
Onlinezugriff:
Inhalt:
1 Introduction 1
1.1 Aim, scope and contributions of this work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Overview on the literature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Outline of this work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 The HMR-RB approach for linear elliptic problems 7
2.1 Hierarchical model reduction for linear elliptic problems . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1 Formulation of the reduced problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.2 Example: An advection-diffusion problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.3 Discretization of the reduced problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Basis generation with Reduced Basis Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.1 Proper Orthogonal Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.2 The Greedy Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 The Hierarchical Model Reduction-Reduced Basis approach . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.1 Derivation of a parametrized 1D problem in transverse direction . . . . . . . 15
2.3.2 Example: An advection-diffusion problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.3 Discretization of the parametrized 1D problem in transverse direction . . . . 17
2.3.4 Basis generation with RB techniques: The Adaptive-HMR-POD algorithm 18
2.4 A posteriori error estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4.1 An a posteriori error estimator based on the Riesz representative of the residual 20
2.4.2 A localized residual-type a posteriori error estimator . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5 Analysis of the computational costs of the HMR-RB approach . . . . . . . . . . . . . 26
2.6 Numerical experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Application of the HMR-RB approach to nonlinear PDEs 45
3.1 The HMR framework for nonlinear PDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.1.1 Formulation of the reduced problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.2 Solution of the discrete reduced problem with Newton’s method . . . . . . . 48
3.2 The Empirical Projection Method (EPM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2.1 Rigorous a priori and a posteriori error analysis for the EPM . . . . . . . . . 55
3.3 The HMR-RB approach (using the EPM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3.1 Formulation of the reduced problem in the HMR-RB framework employing
the EPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3.2 Derivation of a parametrized 1D problem in transverse direction . . . . . . . 59
3.3.3 The generation of parametrized 1D operator evaluations . . . . . . . . . . . . 61
3.3.4 Example: The nonlinear diffusion equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.3.5 Reduced and collateral basis generation with RB methods — the Adaptive-
HMR-RB algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.4 A posteriori error estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.4.1 An a posteriori error bound based on the Brezzi-Rapaz-Raviart Theory . . . 67
3.4.2 Computation of the inf-sup stability factor and the Lipschitz constant . . . . 73
3.5 Analysis of the computational costs of the HMR-RB approach . . . . . . . . . . . . . 73
3.6 Numerical Experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4 Approximation of skewed interfaces 89
4.1 An ansatz for approximating skewed interfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.1.1 Locating the interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.1.2 Removing the interface from the model reduction procedure . . . . . . . . . . 91
4.2 Exemplification for the HMR-RB approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.2.1 Formulation of the reduced problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.2.2 Derivation of a parametrized 1D problem in transverse direction . . . . . . . 93
4.2.3 Example: An advection-diffusion problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.3 Numerical Experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5 Conclusion and Perspectives 107
Appendices 111
A Appendix to Chapter 1 113
A.1 The HMR-RB approach for a domain with a curved boundary . . . . . . . . . . . . . 113
A.1.1 Formulation of the reduced problem in the Hierarchical Model Reduction
framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
A.1.2 Derivation of the parameter dependent one-dimensional problem in the HMRRB
approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
A.2 Alternative derivation of the localized estimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
A.3 Definition of the source term s of test case 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
B Appendix to Chapter 3 121
B.1 Convergence of the EPM in the discrete setting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Bibliography 125