Buildings, group homology and lattices

Die Dissertation beschäftigt sich mit Fragen der Homologie von Gruppen, die geeignet auf Gebäuden wirken; außerdem konstruieren wir Gitter in solchen Gruppen und berechnen ihre Homologie. Konkreter konstruieren wir zuerst Wagonerkomplexe für Gruppen G vom Kac-Moody-Typ, berechnen ihre Fundamentalgru...

Author: Essert, Jan
Further contributors: Kramer, Linus (Thesis advisor)
Division/Institute:FB 10: Mathematik und Informatik
Document types:Doctoral thesis
Media types:Text
Publication date:2010
Date of publication on miami:26.05.2010
Modification date:06.05.2016
Edition statement:[Electronic ed.]
Subjects:Gebäude; Gruppenhomologie; klassische Gruppen; Gitter; homologische Stabilität
DDC Subject:510: Mathematik
License:InC 1.0
Language:English
Format:PDF document
URN:urn:nbn:de:hbz:6-17489549389
Permalink:http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:hbz:6-17489549389
Digital documents:diss_essert.pdf

Die Dissertation beschäftigt sich mit Fragen der Homologie von Gruppen, die geeignet auf Gebäuden wirken; außerdem konstruieren wir Gitter in solchen Gruppen und berechnen ihre Homologie. Konkreter konstruieren wir zuerst Wagonerkomplexe für Gruppen G vom Kac-Moody-Typ, berechnen ihre Fundamentalgruppen und zeigen den Bezug zur Homologie von G auf. Weiterhin geben wir eine neue Methode an, homologische Stabilität für Gruppen mit schwachen Tits-Systemen zu beweisen. Mit Hilfe dieser Methode zeigen wir homologische Stabilität für spezielle lineare und unitäre Gruppen und verbessern dabei bereits bekannte Resultate. Zuletzt konstruieren wir Gebäude vom Typ ~A_2 und ~C_2 mit uniformen Gittern, die sehr einfache Präsentierungen aufweisen. Mit Hilfe dieser Präsentierungen berechnen wir die Gruppenhomologie der Gitter. Dies sind die ersten bekannten Präsentierungen von Gittern in Gebäuden vom Typ ~C_2.

This thesis discusses questions concerning the homology of groups related to buildings. We also give a new construction of lattices in such groups and investigate their group homology. Specifically, we construct a simplicial complex, the Wagoner complex, associated to any group G of Kac-Moody type and calculate its fundamental group, which is related to the group homology of G. Furthermore, we present a method to prove homological stability for groups with weak spherical Tits systems. We use this method to prove strong stability results for special linear groups and for unitary groups, improving the previously best known results in many cases. Finally, we give a construction of buildings of types ~A_2 and ~C_2 admitting uniform lattices. We obtain very explicit presentations of the lattices as well as very explicit descriptions of the buildings. Using these, we calculate group homology of the lattices. These are the first known presentations of lattices in buildings of type ~C_2.