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Weak admissibility of Hodge-Pink lattices in terms of Geometric Invariant Theory

Ausgehend von einem analogen Ergebnis für filtrierte Isokristalle wird in dieser Arbeit ein Zusammenhang zwischen schwacher Zulässigkeit von Hodge-Pink Gittern und geometrischer Invariantentheorie hergestellt. Dazu wird ein Modulraum für Hodge-Pink Gitter, die durch ein Hodge-Pink Gewicht beschränkt sind, konstruiert. Auf diesem Modulraum operiert eine algebraische Gruppe, die aus der Automorphismengruppe des zugrundeliegenden z-Isokristalls entsteht. Desweiteren wird ein linearisiertes Geradenbündel fixiert, das man durch Einbettung in einen projektiven Raum erhält. Es stellt sich heraus, dass ein Hodge-Pink Gitter genau dann schwach zulässig ist, wenn es als Punkt des Modulraums das Hilbert-Mumford Kriterium für Semistabilität für gewissen 1-Parameter-Untergruppen der Automorphismengruppe des z-Isokristalls erfüllt. Zuletzt wird noch das funktorielle Verhalten bei zwei verschiedenen Hodge-Pink Gewichten untersucht.

Titel: Weak admissibility of Hodge-Pink lattices in terms of Geometric Invariant Theory
Verfasser: Schauch, Tim Konstantin GND
Gutachter: Hartl, Urs
Organisation: FB 10: Mathematik und Informatik
Dokumenttyp: Dissertation/Habilitation
Medientyp: Text
Erscheinungsdatum: 2014
Publikation in MIAMI: 11.08.2014
Datum der letzten Änderung: 27.07.2015
Schlagwörter: Hodge-Pink Gitter; schwach zulässig; geometrische Invariantentheorie; Isokristalle; Funktionenkörper Arithmetik
Fachgebiete: Mathematik
Sprache: Englisch
Format: PDF-Dokument
URN: urn:nbn:de:hbz:6-12349573749
Permalink: https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:hbz:6-12349573749
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Inhalt:
Terminology iii
Introduction v
1 z-isocrystals and the reduced norm 1
1.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 z-isocrystals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2.1 Dieudonné-Manin decomposition and split semi-simple z-isocrystals . 3
1.3 The algebraic group of automorphisms of a z-isocrystal . . . . . . . . . . . . 4
1.4 The reduced norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4.1 The reduced norm for a split semi-simple z-isocrystal . . . . . . . . . 11
2 Hodge-Pink lattices 15
2.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Definition and general properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 Bounded Hodge-Pink lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 QD,≤w as a projective scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4.1 Representability of Quot Φ P/W/K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4.2 Representability of QD,≤w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5 Weak admissibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.5.1 Filtered vector spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.5.2 Newton slope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5.3 Hodge slope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5.4 Weakly admissible z-isocrystals with Hodge-Pink lattice . . . . . . . 33
3 The relation of weak admissibility to GIT 35
3.1 Reminder on Geometric Invariant Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1.1 Actions of an algebraic group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1.2 Linearization of an invertible sheaf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.1.3 Semi-stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.1.4 Example: The Grassmannian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 Actions of the algebraic group J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.1 A representation of Jk((z)) on D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.2 A representation of Jk((z)) on σ∗D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2.3 1-parameter subgroups and decompositions into sub-z-isocrystals . . 53
3.2.4 The functor _∼w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3 The relation to Geometric Invariant Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3.1 J∼w-actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3.2 The Main Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.4 Functorial behavior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Bibliography 73