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Polynomial preconditioning of the Dirac-Wilson operator of the N =1 SU(2) supersymmetric Yang-Mills theory

Supersymmetrische Yang-Mills-Theorie mit einer Superladung hat einige interessante nicht-perturbative Eigenschaften, die auf einem raumzeitlichen Gitter mittels Monte-Carlo-Simulationen untersucht werden können. Dieser Ansatz erfordert komplexe mathematische Methoden. Ein besonders heikles Problem taucht bei der Auswertung des fermionischen Integrals auf, die negative Pfaffsche Determinanten ergeben kann, die nicht als Maß im Importance Sampling des bosonischen Pfad-Integrals dienen können. Die Lösung besteht darin, nachträglich mit dem Vorzeichen zu gewichten und nur den Betrag als Maß zu nutzen. Das Vorzeichen kann durch Zählen der Paare entarteter negativer reeller Eigenwerte des Dirac-Wilson-Operators bestimmt werden. Diese kann man erhalten, indem man den Dirac-Wilson-Operator zunächst mit einem Polynom transformiert und dann mittels einer iterativen Methode einen Teil seines Eigenwertspektrums berechnet. In diesem Rahmen wurden unter anderem Faber-Polynome untersucht.

Supersymmetric Yang-Mills theory with one supercharge has several interesting non-perturbative features that can be examined on a spacetime lattice by Monte Carlo simulations. This approach requires sophisticated mathematical tools. One mathematical problem that needs particular attention emerges by the evaluation of the fermionic integral, which can give negative Pfaffians, which cannot be used as a measure in the importance sampling of the bosonic path integral. The solution is to reweight with its sign and to use only its magnitude as a measure. Its sign can be determined by counting the pairs of degenerate negative real eigenvalues of the Dirac-Wilson operator. It is possible to obtain these eigenvalues by transforming the Dirac-Wilson operator by a polynomial before calculating a portion of its eigenspectrum using an iterative eigensolver. Mainly Faber polynomials were studied in this context.

Titel: Polynomial preconditioning of the Dirac-Wilson operator of the N =1 SU(2) supersymmetric Yang-Mills theory
Verfasser: Özugurel, Umut Deniz GND
Gutachter: Münster, Gernot GND
Organisation: FB 11: Physik
Dokumenttyp: Dissertation/Habilitation
Medientyp: Text
Erscheinungsdatum: 2014
Publikation in MIAMI: 23.02.2015
Datum der letzten Änderung: 27.07.2015
Schlagwörter: Supersymmetrie; Gittereichtheorien; Dirac-Wilson-Operator; Eigenwerte; Vorkonditionierung; konforme Abbildung; Faber-Polynome
Supersymmetry; lattice gauge theories; Dirac-Wilson operator; eigenvalues; preconditioning; conformal mapping; Faber polynomials
Fachgebiete: Physik
Sprache: Englisch
Format: PDF-Dokument
URN: urn:nbn:de:hbz:6-40349560532
Permalink: https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:hbz:6-40349560532
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Inhalt:
1. Introduction 1
2. N=1 SYM 3
2.1. Supersymmetry Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2. Lagrangian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3. Effective Lagrangians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3. N=1 SYM on the lattice 6
3.1. Euclidean Functional Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2. Wilson Action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.3. Curci-Veneziano Action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.4. Discrete Functional Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.5. Continuum Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4. Eigenspectrum of the Dirac-Wilson Operator 14
5. Polynomial Filtering of Eigenvalues 20
5.1. Power Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.1.1. Numerical Experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.2. Faber Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.2.1. Schwarz-Christoffel Mapping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.2.2. Conformal Bratwurst Mapping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.2.3. Numerical Experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6. Lattice simulations and results 43
6.1. Correlators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.1.1. Spin-1/2 Bound States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.1.2. Adjoint Mesons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.1.3. 0+ and 0− Glueballs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.2. Finite-Size Effects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.3. Mass Spectra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
7. Conclusion 49
A. Gamma Matrices 50
B. Adjoint Representation of SU(N) 50
C. Majorana Fermions 51