Der 1727 in Rudolstadt geborene Friedrich Hartmann Graf erhielt seinen ersten Unterricht auf der Traversflöte sowie in Komposition bei seinem Vater. Zunächst diente Graf als Militärmusiker in einem holländischen Regiment; ab 1759 schlug er die Laufbahn als Flötist ein. Bis 1766 lebte Graf in Hamburg, wo er organisatorisch wie auch künstlerisch öffentliche Subskriptionskonzerte leitete. Eine anschließende mehrjährige Konzertreise führte ihn als Flötenvirtuosen durch ganz Europa, bevor er in den Dienst des Grafen Karl von Bentheim-Steinfurt (1729-1780) und der von Johann Friedrich Klöffler (1725-1790) geleiteten Burgsteinfurter Hofkapelle trat. Bereits 1769 zog es Graf jedoch weiter nach Den Haag und schließlich 1773 als Musikdirektor der evangelischen Kirchen und des Gymnasiums St. Anna nach Augsburg. 1783/84 wurde Graf nach London berufen, um dort als Nachfolger Johann Christian Bachs (1735-1782) die "Professional Concerts" zu leiten; danach kehrte er jedoch in seine bisherige Stellung nach Augsburg zurück, wo er 1795 starb. In der Fürst zu Bentheimschen Musikaliensammlung Burgsteinfurt sind gut 30 Werke Grafs, insbesondere Flötenkonzerte und -quartette überliefert.