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|a 510 Mathematik
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|a Dirks, Carolin Maria
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|a Universitäts- und Landesbibliothek Münster
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|a Numerical methods for transportation networks
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|a [Electronic ed.]
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|b Universitäts- und Landesbibliothek Münster
|c 2019-12-09
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|a 1 Introduction 1 -- 2 Mathematical preliminaries 5 -- 2.1 Basic notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 -- 2.2 Functions of bounded variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 -- 2.3 -convergence and equi-coercivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 -- 2.4 The Mumford–Shah image segmentation problem . . . . . . . . . . . . . . . . 11 -- 2.4.1 Phase field approximation of the Mumford–Shah functional . . . . . . 13 -- 2.4.2 Functional lifting of Mumford–Shah-type problems . . . . . . . . . . . 15 -- 2.5 Adaptive finite elements for functional lifting problems . . . . . . . . . . . . . 19 -- 2.5.1 Triangular prism finite elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 -- 2.5.2 Finite element function spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 -- 3 Review of methods for transportation network problems 31 -- 3.1 Optimal transport and transport networks - A brief overview . . . . . . . . . . 31 -- 3.2 Branched transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 -- 3.2.1 Eulerian formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 -- 3.2.2 Lagrangian formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 -- 3.3 Urban planning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 -- 3.3.1 Wasserstein formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 -- 3.3.2 Eulerian formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 -- 3.3.3 Lagrangian formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 -- 3.3.4 Generalized urban planning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 -- 3.4 Existence and properties of minimizers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 -- 3.5 Numerical approaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 -- 3.5.1 Branching point optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 -- 3.5.2 Phase field approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 -- 3.5.3 Time-dependent PDE-based methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 -- 3.5.4 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 -- 4 Numerical optimization of transportation networks via functional lifting 55 -- 4.1 Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 -- 4.1.1 Reformulation as image inpainting problems in two dimensions . . . . . 56 -- 4.1.2 Functional lifting of the branched transport and urban planning energy 61 -- 4.2 Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 -- 4.2.1 Original formulation versus convexification . . . . . . . . . . . . . . . 62 -- 4.2.2 Reduction of the set K for piecewise constant functions . . . . . . . . 66 -- 4.3 Numerical optimization with finite differences . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 -- 4.3.1 Discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 -- 4.3.2 Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 -- 4.3.3 Convergence of the algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 -- 4.3.4 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 -- 4.3.5 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 -- 4.4 Numerical optimization with finite elements on adaptive triangular prism grids 81 -- 4.4.1 Discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 -- 4.4.2 Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 -- 4.4.3 Projection onto Kh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 -- 4.4.4 Refinement criteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 -- 4.4.5 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 -- 4.4.6 Uniform versus adaptive grid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 -- 4.4.7 Comparison of different refinement strategies . . . . . . . . . . . . . . 98 -- 4.4.8 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 -- 5 A phase field approximation approach 103 -- 5.1 Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 -- 5.2 Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 -- 5.2.1 Existence of a minimizer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 -- 5.2.2 -convergence and equi-coercivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 -- 5.3 Numerical optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 -- 5.3.1 Discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 -- 5.3.2 Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 -- 5.3.3 Discrete -convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 -- 5.3.4 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 -- 5.3.5 Phase field locking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 -- 5.3.6 Discussion and outlook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 -- 6 Conclusion and outlook 123 -- Appendices 125 -- A Construction of a vector field 125 -- Bibliography 135.
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|a free access
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|
|a Das optimale Transportnetzwerkproblem besteht in der Konstruktion eines möglichst kostengünstigen Transportpfades zwischen zwei gegebenen Masseverteilungen. Die Wahl des Kostenfunktionals bestimmt hierbei über den Grad der Verästelung des Netzwerks. Die resultierende Energie ist typischerweise nicht-konvex, was die numerische Bestimmung eines Minimierers erschwert. Diese Arbeit beschäftigt sich mit verschiedenen Ansätzen zur numerischen Simulation des Branched Transport und des Urban Planning Problems. Eine konvexe, höher-dimensionale Reformulierung des klassischen Transportnetzwerkproblems als ein Problem aus der Bildverarbeitung wird vorgestellt und im Anschluss mit Hilfe eines neu entwickelten adaptiven Finite-Elemente-Verfahrens gelöst. Als ein weiterer Ansatz, basierend auf der Idee von Ambrosio und Tortorelli, wird eine Phasenfeldapproximation zur Relaxierung des verallgemeinerten Urban Planning Problems verwendet.
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3 |
|
|a The optimal transportation network problem consists in constructing a pathway interconnecting two measures to the lowest possible costs. The cost functional is chosen such that the optimal network admits branching structures, which causes the energy to become highly non-convex and as a consequence, the construction of a minimizer is a challenging task. This work deals with the numerical simulation of the branched transport and urban planning problem. We present and analyse two numerical treatments based on different formulations of the energies. The first one is based on a convex reformulation as a lifted image inpainting problem. The resulting optimization problem can be solved efficiently via an adaptive finite element approach. The second one exploits the ideas of Ambrosio and Tortorelli to formulate a phase field approximation of the generalized urban planning model featuring multiple phase fields and a diffuse component allowing transport outside of the desired network.
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|a specialized
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|a CC BY-NC-SA 4.0
|u http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0
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0 |
|a Optimaler Transport
|a branched transport
|a urban planning
|a Mumford-Shah
|a functional lifting
|a adaptive finite Elemente
|a Phasenfeld
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|a Optimal transport
|a branched transport
|a urban planning
|a Mumford-Shah
|a functional lifting
|a adaptive finite elements
|a phase field
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|2 DRIVER Types
|a Dissertation/Habilitation
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|2 DCMI Types
|a Text
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|a Wirth, Benedikt
|u FB 10: Mathematik und Informatik
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|4 ths
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|3 Zum Volltext
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