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Tensor categorical foundations of algebraic geometry

Nach den Arbeiten von Saavedra-Rivano, Deligne, Lurie, Schäppi u.a. lassen sich viele Schemata sowie algebraische Stacks mit ihren Tensorkategorien von quasikohärenten Garben identifizieren. In dieser Arbeit studieren wir Konstruktionen mit kovollständigen Tensorkategorien (bzw. kostetigen Tensorfunktoren), die im Falle von quasikohärenten Garben zu Konstruktionen von Schemata (bzw. ihren Morphismen) korrespondieren. Das bedeutet, die gewöhnliche lokal-globale algebraische Geometrie zu globalisieren. Als Beispiele behandeln wir affine Morphismen, projektive Morphismen, Immersionen, klassische projektive Einbettungen, Aufblasungen, Faserprodukte, klassifizierende Stacks sowie Tangentialbündel. Die universellen Eigenschaften auf der geometrischen Seite finden sich oftmals auch auf der Seite der Tensorkategorien. Bei der Theorie erweist es sich als nützlich, Grundzüge der kommutativen Algebra in einer beliebigen kovollständigen Tensorkategorie zu entwickeln. 

Several results by Saavedra-Rivano, Deligne, Lurie, Schäppi et al. shown that many schemes as well as algebraic stacks may be identified with their tensor categories of quasi-coherent sheaves. In this thesis we study constructions of cocomplete tensor categories (resp. cocontinuous tensor functors) which usually correspond to constructions of schemes (resp. their morphisms) in the case of quasi-coherent sheaves. This means to globalize the usual local-global algebraic geometry and to make a first step towards 2-algebraic geometry. We discuss for example affine morphisms, projective morphisms, immersions, classical projective embeddings (Segre, Plücker, Veronese), blow-ups, fiber products, classifying stacks and finally tangent bundles. It turns out that often the universal properties on the geometric side also appear on the side of tensor categories. For the theory it turns out to be useful to develop basic commutative algebra in an arbitrary cocomplete tensor category.

Titel: Tensor categorical foundations of algebraic geometry
Verfasser: Brandenburg, Martin GND
Gutachter: Deninger, Christopher GND
Organisation: FB 10: Mathematik und Informatik
Dokumenttyp: Dissertation/Habilitation
Medientyp: Text
Erscheinungsdatum: 2014
Publikation in MIAMI: 31.07.2014
Datum der letzten Änderung: 27.07.2015
Schlagwörter: Algebraische Geometrie; Kategorientheorie; Tannaka-Dualität; quasi-kohärente Garben; Tensorkategorie
Algebraic geometry; Category theory; Tannaka duality; quasi-coherent sheaves; Tensor category
Fachgebiete: Mathematik
Sprache: Englisch
Format: PDF-Dokument
URN: urn:nbn:de:hbz:6-22359532742
Permalink: https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:hbz:6-22359532742
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Inhalt:
1 Introduction 1
1.1 Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Acknowledgements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Preliminaries 14
2.1 Category theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Algebraic geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Presentability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 Density and Adams stacks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5 Extension result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Introduction to cocomplete tensor categories 36
3.1 Definitions and examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2 Categorification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3 Element notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.4 Adjunction between stacks and cocomplete tensor categories . . . 49
4 Commutative algebra in a cocomplete tensor category 53
4.1 Algebras and modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2 Ideals and affine schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.3 Symtrivial objects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.4 Symmetric and exterior powers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.5 Derivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.6 Flat objects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.7 Dualizable objects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.8 Invertible objects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.9 Locally free objects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.10 Descent theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.11 Cohomology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5 Constructions with cocomplete tensor categories 102
5.1 Basic free constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.1.1 Free tensor categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.1.2 Cocompletions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.1.3 Indization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.1.4 Limits and colimits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.2 Global schemes and stacks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.3 Module categories over algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.4 Gradings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.5 Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.6 Local functors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.7 Tensoriality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.7.1 The case of qc qs schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.7.2 The case of algebraic stacks . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.8 Localization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.8.1 General theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.8.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.8.3 Localization at sections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.8.4 Ideals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.9 Idempotents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.10 Projective tensor categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
5.10.1 Definition and comparison to schemes . . . . . . . . . . . . 159
5.10.2 Blow-ups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
5.10.3 The Segre embedding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.10.4 The Veronese embedding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
5.10.5 The Plücker embedding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
5.11 Products of schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.11.1 Tensorial base change . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.11.2 The case of qc qs schemes over a field . . . . . . . . . . . . 179
5.12 Tangent tensor categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
6 Monoidal monads and their modules 204
6.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
6.2 Reflexive coequalizers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
6.3 Monoidal monads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
6.4 Tensor product of modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
6.5 Module categories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
Bibliography 233