Tensor categorical foundations of algebraic geometry

Nach den Arbeiten von Saavedra-Rivano, Deligne, Lurie, Schäppi u.a. lassen sich viele Schemata sowie algebraische Stacks mit ihren Tensorkategorien von quasikohärenten Garben identifizieren. In dieser Arbeit studieren wir Konstruktionen mit kovollständigen Tensorkategorien (bzw. kostetigen Tensorfun...

Author: Brandenburg, Martin
Further contributors: Deninger, Christopher (Thesis advisor)
Division/Institute:FB 10: Mathematik und Informatik
Document types:Doctoral thesis
Media types:Text
Publication date:2014
Date of publication on miami:31.07.2014
Modification date:27.07.2015
Edition statement:[Electronic ed.]
Subjects:Algebraische Geometrie; Kategorientheorie; Tannaka-Dualität; quasi-kohärente Garben; Tensorkategorie Algebraic geometry; Category theory; Tannaka duality; quasi-coherent sheaves; Tensor category
DDC Subject:510: Mathematik
License:InC 1.0
Language:English
Format:PDF document
URN:urn:nbn:de:hbz:6-22359532742
Permalink:https://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:hbz:6-22359532742
Digital documents:diss_brandenburg.pdf

Nach den Arbeiten von Saavedra-Rivano, Deligne, Lurie, Schäppi u.a. lassen sich viele Schemata sowie algebraische Stacks mit ihren Tensorkategorien von quasikohärenten Garben identifizieren. In dieser Arbeit studieren wir Konstruktionen mit kovollständigen Tensorkategorien (bzw. kostetigen Tensorfunktoren), die im Falle von quasikohärenten Garben zu Konstruktionen von Schemata (bzw. ihren Morphismen) korrespondieren. Das bedeutet, die gewöhnliche lokal-globale algebraische Geometrie zu globalisieren. Als Beispiele behandeln wir affine Morphismen, projektive Morphismen, Immersionen, klassische projektive Einbettungen, Aufblasungen, Faserprodukte, klassifizierende Stacks sowie Tangentialbündel. Die universellen Eigenschaften auf der geometrischen Seite finden sich oftmals auch auf der Seite der Tensorkategorien. Bei der Theorie erweist es sich als nützlich, Grundzüge der kommutativen Algebra in einer beliebigen kovollständigen Tensorkategorie zu entwickeln. 

Several results by Saavedra-Rivano, Deligne, Lurie, Schäppi et al. shown that many schemes as well as algebraic stacks may be identified with their tensor categories of quasi-coherent sheaves. In this thesis we study constructions of cocomplete tensor categories (resp. cocontinuous tensor functors) which usually correspond to constructions of schemes (resp. their morphisms) in the case of quasi-coherent sheaves. This means to globalize the usual local-global algebraic geometry and to make a first step towards 2-algebraic geometry. We discuss for example affine morphisms, projective morphisms, immersions, classical projective embeddings (Segre, Plücker, Veronese), blow-ups, fiber products, classifying stacks and finally tangent bundles. It turns out that often the universal properties on the geometric side also appear on the side of tensor categories. For the theory it turns out to be useful to develop basic commutative algebra in an arbitrary cocomplete tensor category.