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Honda-Tate-theory for A-motives and global shtukas

Klassische Honda-Tate Theorie für Abelsche Varietäten erlaubt es, die Isogenieklasse einer Abelschen Varietät, die über einem endlichen Körper definiert ist, ein-eindeutig durch eine Konjugationsklasse ganzrationaler algebraischer Zahlen, sogenannter Weil-Zahlen, zu beschreiben. In der Theorie der Arithmetik der Funktionenkörper treten A-Motive bzw. Globale Shtukas an die Stelle von Algebraischen Varietäten. Wir beweisen eine analoge Charakterisierung dieser Objekte über endlichen Körpern und erweitern damit ein Resultat für Drinfeld-Moduln von Yu. Insbesondere geben wir eine Definition von Weil-Zahlen für A-Motive und Globale Shtukas. Der Spezialfall reiner A-Motive wird gesondert behandelt. Der Beweis lehnt sich an die Argumentation von Honda und Tate an. Dabei verwenden wir auch die Gültigkeit der Taniyama-Shimura-Formel im unverzweigten Fall, die wir mit ähnlichen Methoden wie Tate zeigen, wobei wir in der Argumentation p-divisible Gruppen durch lokale Shtukas ersetzen.

Titel: Honda-Tate-theory for A-motives and global shtukas
Verfasser: Rötting, Felix GND
Gutachter: Hartl, Urs GND
Organisation: FB 10: Mathematik und Informatik
Dokumenttyp: Dissertation/Habilitation
Medientyp: Text
Erscheinungsdatum: 2018
Publikation in MIAMI: 18.09.2018
Datum der letzten Änderung: 18.09.2018
Schlagwörter: A-Motiv; Globales Shtuka; Lokales Shtuka; Funktionenkörper; Honda-Tate; Weil-Zahl; Komplexe Multiplikation
Fachgebiete: Mathematik
Sprache: Englisch
Format: PDF-Dokument
URN: urn:nbn:de:hbz:6-97139644476
Permalink: https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:hbz:6-97139644476
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Inhalt:
1. A-Motives and Global Shtukas 1
1.1. The ring A and A-fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Drinfeld-Modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3. The Category of A-Motives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3.1. -Modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3.2. A-Motives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.3. Global Shtukas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.4. The Frobenius endomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.5. Simple and Semisimple A-Motives . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.6. Purity of A-Motives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4. Reduction Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.1. Good Reduction of -modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.2. Potentially Good Reduction of -modules . . . . . . . . . . . 11
1.4.3. Reduction of A-motives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5. Local Constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5.1. Local Shtukas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5.2. Tate Modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5.3. The Tate Conjecture for A-motives . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5.4. The Tate Conjecture for Global Shtukas . . . . . . . . . . . . 21
1.6. The Structure of the Endomorphism Algebra . . . . . . . . . . . . . 21
2. CM-types and the Taniyama-Shimura-formula 27
2.1. Complex Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.1. Complex Multiplication via OE . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.2. Frobenius endomorphism of (CM)-motives . . . . . . . . . . 28
2.1.3. Existence of Extension Sheaves . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.4. Definition over a finite extension . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.5. Reduction of A-Motives with (CM) . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.6. CM-types and local CM-divisors . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2. The Formula of Shimura and Taniyama . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.1. Unramified version . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.2. Revised version at the characteristic place . . . . . . . . . . 38
2.2.3. The formula at the infinite place . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2.4. Generalization to Global Shtukas . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3. The Honda-Tate Correspondence 46
3.1. The Correspondence on the Number Field Side . . . . . . . . . . . . 46
3.1.1. Weil Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.1.2. Injectivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.1.3. Surjectivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2. The Correspondence on the Function Field Side . . . . . . . . . . . 47
3.2.1. Drinfeld Modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2.2. A-Motives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2.3. Global Shtukas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2.4. Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.5. Dimension and Rank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.6. Statement of Honda-Tate Correspondence . . . . . . . . . . . 52
4. Proof of Injectivity 53
5. Proof of Surjectivity 54
5.1. The Endomorphism Algebra E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.1.1. Construction of E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.1.2. Existence of a Commutative Subalgebra of rank rk() . . . 55
5.1.3. The Case of inseparable E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.2. Construction of A-motive over a finite extension of Q . . . . . . . . 55
5.2.1. Construction over C1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.2.2. Choice of divisors Dp and D1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.3. Surjectivity up to a power . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.4. Descent: from m to . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.4.1. Purity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.5. Extension to Global Shtukas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Appendices 68
A. Anderson-A-modules 69
A.1. Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
A.2. Equivalence of Anderson-A-modules and A-motives . . . . . . . . . 70
A.3. CM-types for A-modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
B. Complex Multiplication for Abelian Varieties 73
B.1. CM-algebras and CM-types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
B.2. Abelian Varieties with Complex Multiplication . . . . . . . . . . . . 73
C. Descent Theory 75
C.1. General Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
C.2. Weil Restriction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
D. The Brauer Group 78
D.1. Construction of Br(k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
D.2. Class Field Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Bibliography 80