Iterated asymptotic cones

Asymptotische Kegel sind ein wichtiges Werkzeug der geometrischen Gruppentheorie. Mit ihrer Hilfe versucht man, die Struktur des Cayley Graphen einer endlich erzeugten Gruppe zu verstehen, indem man einen metrischen Raum betrachtet, der als Limes von Raeumen entsteht, die den Cayley Graphen von imme...

Author: Scheele, Lars
Further contributors: Tent, Katrin (Thesis advisor)
Division/Institute:FB 10: Mathematik und Informatik
Document types:Doctoral thesis
Media types:Text
Publication date:2011
Date of publication on miami:26.07.2011
Modification date:31.05.2016
Edition statement:[Electronic ed.]
Subjects:geometrische Gruppentheorie; asymptotische Kegel; Ultrafilter; Ultraprodukt
DDC Subject:510: Mathematik
License:InC 1.0
Language:English
Format:PDF document
URN:urn:nbn:de:hbz:6-43459448740
Permalink:http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:hbz:6-43459448740
Digital documents:diss_scheele.pdf

Asymptotische Kegel sind ein wichtiges Werkzeug der geometrischen Gruppentheorie. Mit ihrer Hilfe versucht man, die Struktur des Cayley Graphen einer endlich erzeugten Gruppe zu verstehen, indem man einen metrischen Raum betrachtet, der als Limes von Raeumen entsteht, die den Cayley Graphen von immer groesserer Entfernung darstellen. Asymptotische Kegel sind im Allgemeinen schwer zu bestimmen, ausserdem haengen sie unter Umstaenden von der Wahl gewisser Daten ab, wie z.B. der Wahl eines Ultrafilters und einer Folge von Skalierungszahlen. In der vorliegenden Arbeit gebe ich Beispiele metrischer Raeume und Gruppen, die unendlich viele verschiedene Kegel bis auf Homoeomorphie aufweisen, wenn man den Prozess der Kegelbildung iteriert. Desweiteren beweise ich, dass jeder eigentliche metrische Raum als asymptotischer Kegel eines anderen eigentlichen Raumes realisiert werden kann. Schliesslich beantworte ich eine bis dato offene Frage von Drutu und Sapir ueber langsame Ultrafilter.

Asymptotic cones are an important tool in geometric group theory, allowing one to understand the structure of the Cayley Graph of a finitely generated group by looking at a limiting metric space, which encodes properties of the graph when viewed from far away. The drawback of using asymptotic cones is that they are in general very hard to compute and may depend on the choice of an ultrafilter and a sequence of scaling factors. A basic question for example is what happens if one iterates the process of taking the asymptotic cone. In this thesis I give examples of metric spaces and of groups having infinitely many different asymptotic cones up to homeomorphism. I also prove that every proper metric space can be realized as an asymptotic cone of another proper space. Finally I answer a question of Drutu and Sapir concerning slow ultrafilters.