On expansions of non-abelian free groups by cosets of a finite index subgroup

Wir zeigen einige grundlegende modelltheoretische Eigenschaften der Struktur, die man erhält, indem man zu der Gruppenstruktur einer nicht abelischen freien Gruppe ein Prädikat für jede der Fasern eines surjektiven Homomorphismus von der freien Gruppe zu einer endlichen Gruppe Q hinzufügt. Dafür ver...

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Verfasser: Nuez González, Javier de la
Weitere Beteiligte: Tent, Katrin (Gutachter)
FB/Einrichtung:FB 10: Mathematik und Informatik
Dokumenttypen:Dissertation/Habilitation
Medientypen:Text
Erscheinungsdatum:2016
Publikation in MIAMI:20.12.2016
Datum der letzten Änderung:20.12.2016
Angaben zur Ausgabe:[Electronic ed.]
Schlagwörter:Modelltheorie; positive Theorie; freie Gruppe; Untergruppe von endlichem Index; Erweiterung
Fachgebiet (DDC):510: Mathematik
Lizenz:InC 1.0
Sprache:English
Format:PDF-Dokument
URN:urn:nbn:de:hbz:6-73279441742
Permalink:https://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:hbz:6-73279441742
Onlinezugriff:diss_de_la_Nuez_Gonzalez.pdf
Inhaltsverzeichnis:
  • Introduction 1
  • 1 Preliminaries 5
  • 1.1 Reminder: the free group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
  • 1.2 A few words about first order logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
  • 1.3 Introducing our setting and some basic definitions . . . . . . . . . . . . . . . . 7
  • 1.4 Preorders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
  • 2 Actions on trees 13
  • 2.1 R-trees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
  • 2.1.1 Basic definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
  • 2.1.2 Group actions on R-trees by isometries . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
  • 2.2 Simplicial trees: Bass-Serre theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
  • 2.3 Operations on trees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
  • 2.3.1 Collapses and blow-ups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
  • 2.3.2 Lifting decompositions through blow-up and collapse . . . . . . . . . . . 21
  • 2.3.3 Foldings and slides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
  • 2.4 Trees and surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
  • 2.4.1 Geometric abelian decompositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
  • 2.4.2 Pinching . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
  • 2.4.3 Seifert type actions of surface groups on real trees . . . . . . . . . . . . 26
  • 2.5 Simplicial trees and group automorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
  • 2.6 Grushko and JSJ decompositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
  • 3 Limits of trees and the shortening argument 33
  • 3.1 Limits of actions on real trees: the Bestvina Paulin method . . . . . . . . . . . 33
  • 3.1.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
  • 3.1.2 Compactness, rescaling and apriori basepoints . . . . . . . . . . . . . . . 35
  • 3.1.3 Limit actions of increasingly acylindrical sequences of actions . . . . . . 36
  • 3.1.4 Limit actions induced by a sequence of homomorphisms . . . . . . . . . 37
  • 3.1.5 Trees of actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
  • 3.1.6 Rips' decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
  • 3.2 The shortening argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
  • 3.2.1 Proper quotients through shortening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
  • 4 Makanin-Razborov diagrams 49
  • 4.1 Basic notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
  • 4.1.1 Finite width . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
  • 4.1.2 -Resolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
  • 4.2 The Makanin-Razborov procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
  • 4.3 Strict -resolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
  • 4.4 Well-separated -resolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
  • 4.5 Taut -resolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
  • 5 -Towers 61
  • 5.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
  • 5.2 Closures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
  • 5.3 Completions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
  • 5.3.1 Floor case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
  • 5.3.2 The morphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
  • 5.3.3 The embedding , injectvity of . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
  • 5.3.4 Factoring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
  • 5.4 -test sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
  • 5.4.1 Two basic properties of test sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
  • 5.5 Existence of -test sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
  • 5.5.1 Proof of proposition 5.5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
  • 5.5.2 The induction step: abelian vertex groups . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
  • 5.6 Characterization of restricted -limit groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
  • 6 Merzlyakov-type theorems 93
  • 6.1 -towers and formal solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
  • 6.1.1 Formal Makanin-Razborov diagrams: proving propostion 6.1.3 . . . . . 96
  • 6.1.2 Proof of proposition 6.1.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
  • 6.2 The positive theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.

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