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On homological invariants of some twisted group C*-algebras

Wir studieren die K-Theorie getwisteter Gruppen-C*-Algebren diskreter Gruppen. Diese Algebren können als Deformationen der klassischen Gruppen-C*-Algebra aufgefasst werden, wobei der Deformationsparameter ein Element der zweiten Gruppenkohomologie der gegebenen Gruppe ist. Der Fokus liegt dabei auf Gruppen der Form Z^n und semidirekter Produkte von Z^n mit einer endlichen zyklischen Gruppe. Es wird untersucht wie sich kanonische Elemente (projektive Moduln) der K-Theorie unter dieser Deformation verhalten. Darüberhinaus werden homologische Invarianten glatter dichter Unteralgebren der getwisteten Gruppen-C*-Algebren untersucht.

We study K-theory of the twisted group C*-algebras of discrete groups of the kind Z^n and \Z^n \rtimes F, where F is a finite cyclic group. Twisted group C*- algebras can be thought of as deformations of classical group C*-algebras where the deformation parameter is an element of the second group cohomology of the given group. For Z^n and Z^n \rtimes F, we show how some K-theory elements (projective modules) behave under the deformation. Also we study homological invariants of smooth twisted algebras (holomorphically closed, dense sub-algebras of twisted group C*-algebras) of the groups Z^n and Z^n \rtimes F.

Titel: On homological invariants of some twisted group C*-algebras
Verfasser: Chakraborty, Sayan GND
Gutachter: Echterhoff, Siegfried GND
Organisation: FB 10: Mathematik und Informatik
Dokumenttyp: Dissertation/Habilitation
Medientyp: Text
Erscheinungsdatum: 2018
Publikation in MIAMI: 24.07.2018
Datum der letzten Änderung: 24.07.2018
Schlagwörter: getwistete Gruppen-C*-Algebren; projektive Moduln; K-Theorie; zyklische Homologie; Deformationsquantisierung
twisted group C*-algebras; projective modules; K-theory; cyclic homology; deformation quantisation
Fachgebiete: Mathematik
Sprache: Englisch
Format: PDF-Dokument
URN: urn:nbn:de:hbz:6-57199514974
Permalink: https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:hbz:6-57199514974
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Inhalt:
Bibliography
1 Introduction 1
2 Preliminaries 7
2.1 Twisted group algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1 2-cocycles on a group and twisted group C*-algebras . . 7
2.1.2 The group H2(G,T) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.3 Some basic examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.4 Group actions on K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Equivariant KK-theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.1 Some formal properties of KK-theory . . . . . . . . . . . 12
2.2.2 Kasparov product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Baum-Connes conjecture for twisted group algebras . . . . . . . 12
2.3.1 The Baum-Connes conjecture with coefficients . . . . . . 12
2.3.2 A brief remark on topological K-theory of G . . . . . . . 13
2.3.3 The conjecture for twisted group algebras . . . . . . . . 14
2.4 Some tools to compute K-theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4.1 Crossed products by by Z and by R . . . . . . . . . . . . 15
2.4.2 The K¨unneth formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4.3 An easy computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5 Some application of the twisted Baum-Connes conjecture . . . . 17
2.6 K-theory of twisted crystallographic group algebras . . . . . . . 22
2.7 Locally convex algebras and m-algebras . . . . . . . . . . . . . . 24
2.7.1 m-algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.7.2 Smooth compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.7.3 Smooth Group Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.7.4 Smooth (twisted) group algebras of Zn and crystallographic
groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.7.5 K-theory and cyclic (co-)homology of m-algebras . . . . 27
3 Noncommutative tori and K-theory 31
3.1 Twisted groupoid algebras and their K-theory . . . . . . . . . . 31
3.2 Projective modules over bundles of noncommutative tori . . . . 32
3.3 Generators of K0 groups of noncommutative tori . . . . . . . . . 36
3.3.1 The 3-dimensional case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3.2 The 4 dimensional case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4 Projective modules over some noncommutative orbifolds 41
4.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2 A quick look into noncommutative orbifolds . . . . . . . . . . . 41
4.3 Projective modules over noncommutative tori . . . . . . . . . . 42
4.4 Projective modules over noncommutative orbifolds . . . . . . . . 44
4.5 The 2-dimensional case - revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5 Equivariant Connes-Thom isomorphism for C*-algebras 55
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.2 Some basic definitions and notations . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.2.1 Equivariant KK-theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.2.2 The setup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.2.3 The equivariant Takesaki-Takai duality theorem . . . . . 56
5.3 Connes’ pseudo-differential calculus . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.4 Equivariant Connes–Thom isomorphism for equivariant KK theory
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.4.1 Proof of equivariant Connes-Thom isomorphism . . . . . 65
5.5 Application: K-theory of equivariant quantization . . . . . . . . 67
6 Traces on some crystallographic group algebras 73
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.2 Some basic definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.2.1 Noncommutative calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.2.2 Standard complex for group cohomology . . . . . . . . . 74
6.2.3 Hochschild cocycles on group algebra . . . . . . . . . . . 75
6.3 Inducing traces on twisted algebras . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.4 Zeroth cyclic cocycles of twisted crystallographic group algebras 79
6.4.1 The case Z2 o Z3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.4.2 The case Z2 o Z2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
7 Some non-commutative orbifolds: the flip-case 87
7.0.1 Continuous field of projective modules over Aθ o Z2 . . . 91
7.0.2 Main computations with K-theory . . . . . . . . . . . . . 92