The diffeomorphism group of an exotic sphere

Diese Doktorarbeit befasst sich mit den Diffeomorphismengruppen exotischer Sphären. Eine glatte Homotopiesphäre ist eine glatte Mannigfaltigkeit, die homotopieäquivalent aber nicht notwendigerweise diffeomorph zu einer Standardsphäre ist. Falls sie nicht diffeomorph ist, so wird sie als exotische Sp...

Author: Sommer, Oliver Carsten
Further contributors: Weiß, Michael (Thesis advisor)
Division/Institute:FB 10: Mathematik und Informatik
Document types:Doctoral thesis
Media types:Text
Publication date:2017
Date of publication on miami:31.07.2017
Modification date:31.07.2017
Edition statement:[Electronic ed.]
Subjects:Homotopiesphäre; exotische Sphäre; Diffeomorphismengruppe; Orthogonalkalkül; algebraische K-Theorie; Homotopietheorie homotopy sphere; exotic sphere; diffeomorphism group; orthogonal calculus; algebraic K-theory; homotopy theory
DDC Subject:510: Mathematik
License:InC 1.0
Language:English
Format:PDF document
URN:urn:nbn:de:hbz:6-41259710895
Permalink:https://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:hbz:6-41259710895
Digital documents:diss_sommer_oliver_carsten.pdf

Diese Doktorarbeit befasst sich mit den Diffeomorphismengruppen exotischer Sphären. Eine glatte Homotopiesphäre ist eine glatte Mannigfaltigkeit, die homotopieäquivalent aber nicht notwendigerweise diffeomorph zu einer Standardsphäre ist. Falls sie nicht diffeomorph ist, so wird sie als exotische Sphäre bezeichnet. Es gibt eine Auswertungsabbildung von der Diffeomorphismengruppe einer exotischen Sphäre zur exotischen Sphäre selbst, gegeben durch Auswertung an einem Basispunkt. Die Existenzfrage eines Schnittes zu dieser Auswertungsabbildung wird unter Zuhilfenahme von Methoden aus Homotopietheorie und Orthogonalkalkül untersucht. Das Hindernis zur Existenz eines solchen Schnittes ist durch ein Element in einer bestimmten Homotopiegruppe gegeben. Das Hauptresultat ist die Nichtexistenz eines solchen Schnittes in Dimension sieben im Fall des Erzeugers der Kervaire-Milnor Gruppe der Homotopiesphären.

This thesis is concerned with the diffeomorphism groups of exotic spheres. A smooth homotopy sphere is a smooth manifold, which is homotopy equivalent to a sphere, but not necessarily diffeomorphic. If it is not diffeomorphic, it is referred to as an exotic sphere. There is an evaluation map from the diffeomorphism group of an exotic sphere to the exotic sphere itself, given by evaluation at a basepoint. Methods from homotopy theory and orthogonal calculus are used to investigate the existence question of a section of this evaluation map. The obstruction to the existence of such a section is given by an element in a certain homotopy group. The main result is the non-existence of such a section in dimension seven in the case of the generator of the Kervaire-Milnor group of homotopy spheres.