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The diffeomorphism group of an exotic sphere

Diese Doktorarbeit befasst sich mit den Diffeomorphismengruppen exotischer Sphären. Eine glatte Homotopiesphäre ist eine glatte Mannigfaltigkeit, die homotopieäquivalent aber nicht notwendigerweise diffeomorph zu einer Standardsphäre ist. Falls sie nicht diffeomorph ist, so wird sie als exotische Sphäre bezeichnet. Es gibt eine Auswertungsabbildung von der Diffeomorphismengruppe einer exotischen Sphäre zur exotischen Sphäre selbst, gegeben durch Auswertung an einem Basispunkt. Die Existenzfrage eines Schnittes zu dieser Auswertungsabbildung wird unter Zuhilfenahme von Methoden aus Homotopietheorie und Orthogonalkalkül untersucht. Das Hindernis zur Existenz eines solchen Schnittes ist durch ein Element in einer bestimmten Homotopiegruppe gegeben. Das Hauptresultat ist die Nichtexistenz eines solchen Schnittes in Dimension sieben im Fall des Erzeugers der Kervaire-Milnor Gruppe der Homotopiesphären.

This thesis is concerned with the diffeomorphism groups of exotic spheres. A smooth homotopy sphere is a smooth manifold, which is homotopy equivalent to a sphere, but not necessarily diffeomorphic. If it is not diffeomorphic, it is referred to as an exotic sphere. There is an evaluation map from the diffeomorphism group of an exotic sphere to the exotic sphere itself, given by evaluation at a basepoint. Methods from homotopy theory and orthogonal calculus are used to investigate the existence question of a section of this evaluation map. The obstruction to the existence of such a section is given by an element in a certain homotopy group. The main result is the non-existence of such a section in dimension seven in the case of the generator of the Kervaire-Milnor group of homotopy spheres.

Titel: The diffeomorphism group of an exotic sphere
Verfasser: Sommer, Oliver Carsten GND
Gutachter: Weiß, Michael GND
Organisation: FB 10: Mathematik und Informatik
Dokumenttyp: Dissertation/Habilitation
Medientyp: Text
Erscheinungsdatum: 2017
Publikation in MIAMI: 31.07.2017
Datum der letzten Änderung: 31.07.2017
Schlagwörter: Homotopiesphäre; exotische Sphäre; Diffeomorphismengruppe; Orthogonalkalkül; algebraische K-Theorie; Homotopietheorie
homotopy sphere; exotic sphere; diffeomorphism group; orthogonal calculus; algebraic K-theory; homotopy theory
Fachgebiete: Mathematik
Sprache: Englisch
Format: PDF-Dokument
URN: urn:nbn:de:hbz:6-41259710895
Permalink: https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:hbz:6-41259710895
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Inhalt:
Notation vii
Introduction 1
Foreword . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Literature review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Research aim and results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Methodology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Outline of argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1. Preliminaries 9
1.1. The spaces O, TOP and G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1. An identification for TOP(n)/O(n) . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.2. Connectivity of the stable inclusions . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2. Pseudo smooth structures on spheres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3. Exotic spheres and the surgery exact sequence . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4. Multiplicative structures on the sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5. Homotopy orbits, fixed points and the Tate construction . . . . . . . . 21
1.6. The real K-theory spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.6.1. A spectrum level Atiyah-Segal completion map . . . . . . . . . 23
1.6.2. The norm map for the real K-theory spectrum . . . . . . . . . . 31
2. Statement of results 37
3. Obstructions to the lifting question 41
3.1. First obstruction: Lifting to the group of homeomorphisms . . . . . . . 41
3.2. Second obstruction: Lifting to the group of diffeomorphisms . . . . . . 45
4. A homotopy operation 49
4.1. Extension to the category of spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2. Extension to the category of spectra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3. Relation to the second obstruction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.4. The formulation in dimension seven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.5. A reformulation employing a lift to quadratic L-theory . . . . . . . . . 58
5. An approximation of G(n)/TOP(n) 63
5.1. K-theory and duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.2. Orthogonal calculus and the approximating model . . . . . . . . . . . . 65
6. An approximation of TOP(n)/O(n) 71
6.1. The vanishing correction term . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.2. The injectivity of the boundary homomorphism . . . . . . . . . . . . . 75
7. An attempted calculation using bo 81
7.1. The approximation using topological K-theory . . . . . . . . . . . . . . 81
7.2. The simplification as homotopy fiber in dimension seven . . . . . . . . 83
7.3. A functional cohomology operation for bo^2 . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7.4. The image of the homology of H8(Co,Z) . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7.5. Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
A. Appendix 97
A.1. The evaluation map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
A.2. Homotopy pullbacks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
A.3. Miscellaneous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
References 103