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On the K-theory of crossed product C*-algebras by actions of Z n

Wir untersuchen die K-Theorie von verschränkten Produkt C*-Algebren mit Wirkungen von Z^n und mit besonderem Fokus auf den Fall n=2. Zu einer Z^2-Wirkung auf einer C*-Algebra A assoziieren wir einen Gruppenhomomorphismus zwischen gewissen Subquotienten der K-Theorie von A, der, zusammen mit der K-Theorie von A und der induzierten Wirkung auf K-Theorie, die K-Theorie des verschränkten Produktes bis auf Gruppenerweiterungsprobleme festlegt. Wir präsentieren Beispiele von Z^2-Wirkungen für die dieser Homomorphismus nicht-trivial ist. Für beliebiges n untersuchen wir die Differentiale einer Spektralsequenz, die auf Kasparov zurückgeht und gegen die K-Theorie des zugehörigen verschränkten Produktes konvergiert. Wir zeigen, dass für n=2 das Differential auf der E_2-Seite mit dem oben erwähnten Homomorphismus übereinstimmt. Für beliebiges n setzen wir das Differential auf der E_2-Seite mit den zu den natürlichen Z^2-Unterwirkungen assoziierten Homomorphismen in Verbindung.

We investigate the K-theory of crossed product C*-algebras by actions of Z^n with emphasis on the case n=2. Given a Z^2-action on a C*-algebra A, we define a homomorphism between certain subquotients of the K-theory of A, which, together with the K-theory of A and the induced action in K-theory, determines the K-theory of the crossed product up to group extension problems. We present instances of Z^2-actions whose associated obstruction homomorphisms are non-trivial. For arbitrary n, we investigate the differentials of a spectral sequence due to Kasparov, which converges to the K-theory of the associated crossed product. For n=2, we identify the differential on the E_2-term with the abovementioned homomorphism. Moreover, for arbitrary n, we relate the differential on the E_2-term with the homomorphisms associated with the natural Z^2-subactions.

Titel: On the K-theory of crossed product C*-algebras by actions of Z n
Weitere Titel On the K-theory of crossed product C*-algebras by actions of Zn - On the K-theory of crossed product C*-algebras by actions of Z^n
Verfasser: Barlak, Selçuk GND
Gutachter: Cuntz, Joachim GND
Organisation: FB 10: Mathematik und Informatik
Dokumenttyp: Dissertation/Habilitation
Medientyp: Text
Erscheinungsdatum: 2014
Publikation in MIAMI: 06.08.2014
Datum der letzten Änderung: 27.07.2015
Schlagwörter: C*-Algebren; K-Theorie; Verschränkte Produkte; Z^n-Wirkungen; Spektralsequenz
C*-algebras; K-theory; crossed products; Z^n-actions; spectral sequence
Fachgebiete: Mathematik
Sprache: Englisch
Format: PDF-Dokument
URN: urn:nbn:de:hbz:6-62349413626
Permalink: https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:hbz:6-62349413626
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Inhalt:
Introduction 1
1 Preliminaries 7
1.1 A reminder of crossed product C*-algebras . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Crossed products and mapping tori . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Bott elements associated with almost commuting unitaries 21
3 The Pimsner-Voiculescu sequence 27
3.1 Recalling the Pimsner-Voiculescu sequence . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Lifts for the boundary maps of the Pimsner-Voiculescu sequence . . 30
4 The K-theory of crossed products by Z2-actions 35
4.1 The obstruction homomorphism associated with a Z2-action . . . . 35
4.2 The special case of pointwise inner Z2-actions . . . . . . . . . . . . 40
4.3 Alternative descriptions of the obstruction homomorphism . . . . . 43
5 Examples of non-trivial obstruction homomorphisms 47
5.1 Locally KK-trivial Z2-actions on Kirchberg algebras . . . . . . . . 48
5.2 A natural action on the group C*-algebra of the discrete Heisenberg
group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.3 Certain pointwise inner actions on amalgamated free product
C*-algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6 Endomorphic homotopies between Zn-actions 59
7 Spectral sequences associated with Zn-actions 63
7.1 Spectral sequences arising from finite cofiltrations of C*-algebras . . 64
7.2 A spectral sequence for the K-theory of crossed products by Zn . . 68
Bibliography 77