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Existence of typical scales for manifolds with lower Ricci curvature bound

Für eine kollabierende Folge Riemannscher Mannigfaltigkeiten, die alle dieselbe untere Ricci-Krümmungsschranke erfüllen, wird gezeigt, dass es eine Folge von Skalierungen und eine Menge von guten Basispunkten mit großem Volumen gibt, die folgende Eigenschaften besitzen: Betrachtet man die reskalierten Mannigfaltigkeiten an guten Fußpunkten und wählt eine konvergente Teilfolge aus, so ist der Grenzraum isometrisch zu einem Produkt aus einem euklidischen und einen kompakten metrischen Raum. Dabei ist die Dimension des euklidischen Faktors unabhängig von der Wahl der Fußpunkte und alle kompakten Räume, die auftreten können, erfüllen dieselben Durchmesserschranken. Außerdem hängt die Dimension des kompakten Faktors (im Sinne von Colding-Naber) nicht von der Wahl der Fußpunkte ab, sondern nur von der gewählten konvergenten Teilfolge.

This thesis investigates collapsing sequences of Riemannian manifolds which satisfy a uniform lower Ricci curvature bound. It is shown that in this situation there exists a sequence of rescaling factors (scales) such that for a set of good base points of large measure the pointed rescaled manifolds subconverge to a product of a Euclidean and a compact space. Moreover, all possible Euclidean factors have the same dimension and all possible compact factors satisfy the same diameter bounds. Further, the dimension of the compact factor does not depend on the choice of the base point (along a fixed subsequence).

Titel: Existence of typical scales for manifolds with lower Ricci curvature bound
Verfasser: Jansen, Dorothea Gisela GND
Gutachter: Wilking, Burkhard
Organisation: FB 10: Mathematik und Informatik
Dokumenttyp: Dissertation/Habilitation
Medientyp: Text
Erscheinungsdatum: 2016
Publikation in MIAMI: 25.07.2016
Datum der letzten Änderung: 25.07.2016
Schlagwörter: Mathematik; Differentialgeometrie; untere Ricci-Krümmungsschranke; Gromov-Hausdorff Konvergenz; Kollaps; Reskalieren
mathematics; differential geometry; lower Ricci curvature bound; Gromov-Hausdorff convergence; collapsing; rescaling
Fachgebiete: Mathematik
Sprache: Englisch
Format: PDF-Dokument
URN: urn:nbn:de:hbz:6-55229653481
Permalink: https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:hbz:6-55229653481
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Inhalt:
Introduction v
1 Foundations 1
1.1 Bishop-Gromov volume comparison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Rescaling of metrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Gromov-Hausdorff convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3.1 Ultralimits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.2 Measured Gromov-Hausdorff convergence . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.3 Generic points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Local construction 11
2.1 Construction of G1r (qi) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Construction of G2r (qi) and li . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 The C-property and the dimension of blow-ups . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4 Proof of the main proposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3 Global construction 49
3.1 Application to generic points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 Comparison of rescaling sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3 Generic points and geodesics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.4 Proof of the main theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
A Gromov-Hausdorff convergence 67
A.1 The compact case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
A.2 The non-compact case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
A.3 Ultralimits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
A.4 Measured Gromov-Hausdorff convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
B Rescaling of metrics 119
C Bishop-Gromov volume comparison 125