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An algebraic characterization of the Weyl curvature of Sm × Sm

In der vorliegenden Arbeit wird die Eigenwertgleichung W2+W#=θW, die in enger Beziehung zur Evolutionsgleichung von Krümmungsoperatoren unter dem Ricci Fluss steht, für Weyl Krümmungsoperatoren W untersucht. Es wird bewiesen, dass θ unter gewissen Bedingungen genau dann maximal ist, falls W die Weyl Krümmung von Sm×Sm ist. Desweitern werden unendliche Serien von neuen Lösungen dieser Eigenwertgleichung konstruiert.

In the present work, the eigenvalue equation W2+W#=θW, which is closely related to the evolution equation of a curvature operator under the Ricci flow, is analyzed for Weyl curvature operators W. A proof that under certain conditions θ is maximal if and only if W is the Weyl curvature of Sm×Sm is given. Moreover, infinite series of new solutions to this eigenvalue equation are constructed.

Titel: An algebraic characterization of the Weyl curvature of Sm × Sm
Weitere Titel An algebraic characterization of the Weyl curvature of S m × S m
Verfasser: Jäger, Florian GND
Gutachter: Böhm, Christoph
Organisation: FB 10: Mathematik und Informatik
Dokumenttyp: Dissertation/Habilitation
Medientyp: Text
Erscheinungsdatum: 2016
Publikation in MIAMI: 05.08.2016
Datum der letzten Änderung: 05.08.2016
Schlagwörter: Ricci Fluss; Evolutionsgleichung; Krümmungsoperator; Weyl Krümmung; Eigenwertgleichung; Legendre Symbol
Ricci flow; evolution equation; curvature operator; Weyl curvature; eigenvalue equation; Legendre symbol
Fachgebiete: Mathematik
Sprache: Englisch
Format: PDF-Dokument
URN: urn:nbn:de:hbz:6-45219527483
Permalink: https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:hbz:6-45219527483
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Inhalt:
Introduction 1
1 Preliminaries 7
1.1 The Ricci flow and the evolution of curvature operators . . . 7
1.2 Algebraic curvature operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 The #-map and its properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Diagonal algebraic curvature operators . . . . . . . . . . . . . 11
2 Some new examples 15
2.1 Legendre symbols and circulant matrices . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Infinite series of new solutions to W2 +W# = θW . . . . . . 20
2.3 The isotropy groups of the new solutions . . . . . . . . . . . . 27
3 Proof of theorem A 33
3.1 The Weyl curvature of Sm × Sm . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 A gap phenomenon for the scalar curvature . . . . . . . . . . 37
3.3 Estimates for r2, scal, tr Ric3, and tr Ric4 . . . . . . . . . . . 42
3.4 An estimate for −2⟨Ric(W2−), Ric⟩ . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.4.1 An estimate for T1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.4.2 An estimate for T2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.5 The scalar curvature cannot be too small . . . . . . . . . . . 64
3.6 Conclusion: W is the normalized Wely curvature of Sm × Sm 75