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Model reduction for parametric multi-scale problems

Diese Arbeit behandelt elliptische parametrische mehrskalen Probleme, deren numerische Approximation sowohl durch ihren parametrischen als auch durch ihren mehrskalen Charakter erschwert wird. In diesem Zusammenhang stellen wir die lokalisierte reduzierte Basis mehrskalen Methode (LRBMS) zur exakten und effizienten Approximation dieser Probleme vor. Dazu kombinieren wir Lokalisierungsansätze aus numerischen mehrskalen Methoden mit Ansätzen der Modellreduktion aus dem Bereich der reduzierte Basis Methoden. Wir stellen einen neuen zuverlässigen und lokalisierbaren a posteriori Fehlerschätzer vor, um Diskretisierungs- und Modellreduktionsfehler effizient zu bewerten. Aufbauend darauf schlagen wir ein adaptives Verfahren vor, um die Lösung durch lokale Korrekturprobleme zu verbessern. Zusätzlich stellen wir ein generisches Diskretisierungs- und Modellreduktions-Frameworks vor und demonstrieren die Anwendbarkeit der LRBMS im Zusammenhang mit ein-Phasen Strömung in porösen Medien.

The present work deals with elliptic parametric multiscale problems, which inherit the computational challenges of both multiscale and parametric problems. We present the localized reduced basis multiscale method (LRBMS) for the efficient and accurate approximation of such problems. Therefore, the LRBMS combines localization ideas from numerical multiscale methods with model reduction techniques from reduced basis methods. We present a new reliable and localizable a posteriori error estimate, which allows to efficiently assess discretization and model reduction errors during all stages of the computational process. Based on this estimate, we propose an adaptive online enrichment procedure to improve the quality of the resulting approximation by solving local corrector problems. In addition, we present a generic discretization and model reduction software framework and demonstrate the applicability of the LRBMS, in particular in the context of single-phase flow in porous media.

Titel: Model reduction for parametric multi-scale problems
Verfasser: Schindler, Felix GND
Gutachter: Ohlberger, Mario GND
Organisation: FB 10: Mathematik und Informatik
Dokumenttyp: Dissertation/Habilitation
Medientyp: Text
Erscheinungsdatum: 2016
Publikation in MIAMI: 25.04.2016
Datum der letzten Änderung: 25.04.2016
Schlagwörter: Numerische Analysis; Partielle Differentialgleichungen; Mehrskalen Probleme; Modellreduktion; Wissenschaftliches Rechnen
numerical analysis; partial differential equations; multiscale problems; model reduction; scientific computing
Fachgebiete: Mathematik
Sprache: Englisch
Format: PDF-Dokument
URN: urn:nbn:de:hbz:6-66219639135
Permalink: https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:hbz:6-66219639135
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Inhalt:
Introduction xvii
1 Elliptic parametric multiscale problems 1
1.1 Elliptic problems and grid-based approximations . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Elliptic problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Grid-based numerical approximations with Finite Element methods 4
1.2 Multiscale problems and numerical multiscale methods . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Elliptic multiscale problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 Numerical multiscale methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Parametric problems and model order reduction . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.1 Elliptic parametric problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.2 Model order reduction with reduced basis methods . . . . . . . . . 18
1.3.2.1 Offline/online decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.2.2 Basis generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.2.3 Accuracy vs. efficiency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4 Parametric multiscale problems and combined approaches . . . . . . . . . 26
1.4.1 Elliptic parametric multiscale problems . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4.2 The localized reduced basis multiscale method . . . . . . . . . . . 27
1.4.3 Combined approaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 The localized reduced basis multiscale method (LRBMS) 31
2.1 Detailed discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1.1 Local discretizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1.2 Global coupling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2 Reduced discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.1 Offline/online decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3 Error control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.1 Residual based error control of the model reduction error . . . . . 43
2.3.2 Localized error control of the discretization and the full error . . . 44
2.3.2.1 Oswald interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3.2.2 Diffusive flux reconstruction . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3.2.3 Local efficiency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3.2.4 Localized offline/online decomposition . . . . . . . . . . . 53
2.4 Adaptivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.4.1 Offline basis generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.4.2 Online basis enrichment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3 Software concepts and implementations 65
3.1 Discretization framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.1.1 Mathematical foundation and theoretical requirements . . . . . . . 65
3.1.1.1 Approximating the solution of a PDE . . . . . . . . . . . 66
3.1.1.2 Error estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.1.1.3 Projections and prolongations. . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.1.2 Abstract design principles and technical requirements . . . . . . . 93
3.1.3 Existing implementations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.1.4 A new discretization framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.1.4.1 dune-stuff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.1.4.2 dune-gdt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.2 Model reduction framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.2.1 Requirements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.2.1.1 High-dimensional operations . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.2.1.2 Low-dimensional operations . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3.2.2 Existing implementations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3.2.2.1 App. 1: Separate software . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3.2.2.2 App. 2: Inside high-dimensional solver . . . . . . . . . . . 141
3.2.2.3 App. 3: Separate low- and high-dimensional operations . 141
3.2.3 Design principles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
3.2.4 A new model reduction framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
3.2.4.1 pyMOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
3.2.4.2 dune-pymor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
3.2.4.3 dune-hdd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
4 Numerical experiments 165
4.1 The localized reduced basis (multiscale) method . . . . . . . . . . . . . . 165
4.1.1 The thermal block experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
4.1.2 The Spe10 model2 experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4.2 A new discretization framework: dune-gdt . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
4.2.1 A first online enrichment experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
4.2.2 A first validation of the new localized estimator . . . . . . . . . . . 176
4.2.3 A first localization study of the new estimator . . . . . . . . . . . 177
4.2.4 Detailed study of the parametric localized error estimator . . . . . 179
4.2.4.1 Academic example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
4.2.4.2 Parametric multiscale example . . . . . . . . . . . . . . . 181
4.3 A new model reduction framework: pyMOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
4.3.1 Vector array benchmarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
4.3.2 Gram-Schmidt and POD benchmarks . . . . . . . . . . . . . . . . 186
4.4 The online adaptive LRBMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
4.4.1 Academic example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
4.4.2 Parametric multiscale example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
Bibliography 209