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On coset posets, nerve complexes and subgroup graphs of finitely generated groups

Der Coset Poset ist die Menge aller Rechtsnebenklassen aller echten Untergruppen zusammen mit der Teilmengenordnung. Der Finite Index Coset Poset ist eine Teilmenge des Coset Poset und enthält nur die Nebenklassen der echten Untergruppen von endlichem Index. Wir beweisen, dass der finite index Coset poset sowie der Coset Poset und dazugehörige Nervkomplexe für manche endlich erzeugten Gruppen zusammenziehbar ist und für andere nicht. Darüberhinaus zeigen wir, dass es endlich erzeugte Gruppen gibt für die der Coset Poset und der Finite Index Coset Poset nicht homotopieäquivalent sind. Um die Zusammenziehbarkeit der Simplizialkomplexe zu beweisen verwenden wir Untergruppen Graphen.

Titel: On coset posets, nerve complexes and subgroup graphs of finitely generated groups
Verfasser: Welsch, Cora
Gutachter: Kramer, Linus Normdaten
Organisation: FB 10: Mathematik und Informatik
Dokumenttyp: Dissertation/Habilitation
Medientyp: Text
Erscheinungsdatum: 2018
Publikation in MIAMI: 05.07.2018
Datum der letzten Änderung: 05.07.2018
Schlagwörter: Coset Poset; Untergruppen Graph; Nebenklassen; Simplizialkomplex; Nervkomplex; Zusammenziehbarkeit
Fachgebiete: Mathematik
Sprache: Englisch
Format: PDF-Dokument
URN: urn:nbn:de:hbz:6-48119612426
Permalink: https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:hbz:6-48119612426
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Inhalt:
Notation xi
1 Introduction 1
1.1 Main results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Finite index coset poset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 Coset poset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Structure of this thesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
I Finite simplicial complexes 7
2 The coset poset of finite groups 9
II Subgroup graphs 15
3 Subgroup graphs of subgroups of free groups 17
4 Subgroup graphs of finite index subgroups of finitely generated
groups 23
5 Applications of subgroup graphs of finite index subgroups 29
5.1 Hall and Sylow subgroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.2 Morphisms and subgroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.3 Generating systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.4 Conjugate subgroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.5 Normal subgroups and normalizers . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.6 Index and intersection of subgroups . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.7 Malnormal subgroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
III (Finite index) coset poset of finitely generated in-
finite groups 41
6 Contractible finite index coset poset 43
6.1 Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.1.1 Normal maximal subgroups . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.1.2 Coprime index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.2.1 Infinitely many normal maximal subgroups . . . . . . . . . 49
6.2.2 Infinitely many prime index subgroups . . . . . . . . . . . 52
6.2.3 Infinitely many prime power index subgroups . . . . . . . 56
6.3 Inheritance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7 Non-contractible finite index coset poset 61
7.1 The importance of maximal subgroups . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.2 A homotopy invariant, a conjecture and questions . . . . . . . . . 67
8 Coset poset 71
8.1 Contractible coset posets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8.2 Non-contractible coset posets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
8.3 Tarski monster groups, conjectures and questions . . . . . . . . . 77
8.4 Higher generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Appendix 83
A Subgroups of index at least k 85
B Subgroup graphs 87
B.1 Finite index subgroups of Z x Z2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
B.2 Finite index subgroups of Z ⋊ Z2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
B.3 Z ⋊ F for F being a finite group . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
B.4 Z ⋊ G with G being a finitely generated group . . . . . . . . . . . 92
C Triangle groups and related Coxeter groups 95
C.1 Hyperbolic triangle groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
C.1.1 Containing infinite exponents . . . . . . . . . . . . . . . . 95
C.1.2 Only finite exponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
C.2 Euclidean triangle groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
C.2.1 (3; 3; 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
C.2.2 (2; 4; 4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
C.2.3 (2; 3; 6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
C.2.4 Related hyperbolic triangle groups and Coxeter groups . . 103
C.2.5 More sequences of subgroups for (3; 3; 3) . . . . . . . . . 104