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S 1-actions on 4-manifolds and fixed point homogeneous manifolds of nonnegative curvature

Zum einen wird gezeigt, dass der Quotient einer kompakten Riemannschen 4-Mannigfaltigkeit nichtnegativer Krümmung M nach einer isometrischen Wirkung des Kreises U(1) mit einzig isolierten Fixpunkten eine Glättung mittels positiv gekrümmter Metriken zulässt. Genauer existiert eine Folge glatter positiv gekrümmter Riemannscher Metriken auf dem Qutientenraum M/U(1) welche im Gromov Hausdorff Sinne gegen die singuläre Quotientenmetrik konvergiert. Im zweiten Teil wird bewiesen, dass eine kompakte nichtnegativ gekrümmte fixpunkthomogene Riemannsche Mannigfaltigkeit sich darstellen lässt als die Verklebung längs der Ränder der Einheitsscheibenbündel über einer maximalen Fixpunktkomponent und einer weiteren invarianten geschlossen Untermannigfaltigkeit. Als Korollar folgt, dass eine einfach zusammenhängende und nichtnegativ gekrümmte Torusmannigfaltigkeit rational elliptisch ist.

Titel: S 1-actions on 4-manifolds and fixed point homogeneous manifolds of nonnegative curvature
Verfasser: Spindeler, Wolfgang Lorenz GND
Gutachter: Wilking, Burkhard
Organisation: FB 10: Mathematik und Informatik
Dokumenttyp: Dissertation/Habilitation
Medientyp: Text
Erscheinungsdatum: 2014
Publikation in MIAMI: 31.07.2014
Datum der letzten Änderung: 27.07.2015
Schlagwörter: Nichtnegative Krümmung; Glättung; Quotientenraum; fixpunkthomogen; Torusmannigfaltigkeit
Fachgebiete: Mathematik
Sprache: Englisch
Format: PDF-Dokument
URN: urn:nbn:de:hbz:6-22359532090
Permalink: https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:hbz:6-22359532090
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Inhalt:
Introduction vi
1 Background from Riemannian geometry, group actions and Alexandrov
spaces. 1
1.1 Riemannian geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Basic definitions, formulas and convex functions . . . . . . . . . . 1
1.1.2 The gluing lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Isometric group actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Polar S1-actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Quotient spaces and orbifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Alexandrov spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Resolving the singularities of M4=S1 10
2.1 Geometry and topology of M4=S1 and S3=S1 . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.1 Geometry and topology of M4=S1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.2 Geometry and topology of S3=S1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 S1-symmetry near the singular set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Resolution of the singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.1 Resolution of Bp(p) and Bp(q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.2 Resolution of U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.3 Resolution of E [Stern] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3.4 Resolution of F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.4 A Ricci
ow on M [Stern] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.5 Proof of theorem 2.1, part (b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3 Nonnegatively curved fixed point homogeneous manifolds 54
3.1 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.1.1 Alexandrov spaces with nonempty boundary . . . . . . . . . . . . 56
3.1.2 Convex subsets of Alexandrov spaces and quotient spaces . . . . . 56
3.2 The decomposition theorem and further results . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.2.1 The Proof of Theorem 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.2.2 Applications to rational ellipticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Bibliography 76