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Die Normeinsgruppen biquadratischer Zahlkörpererweiterungen

Sei K/k eine endliche Galoiserweiterung mit Gruppe G. Hilberts Satz 90 besagt, dass jedes Element von K der Norm 1 die Gestalt a/g(a) mit einem a aus K hat, wenn G zyklisch mit erzeugendem Element g ist. Eine andere Formulierung dieser Aussage lautet H^{-1}(G,K*)=1, wobei H^{-1}(G,K*) die {-1}-te Kohomologiegruppe von G mit Koeffizienten in der multiplikativen Gruppe K* von K bezeichnet. Unser Ziel ist die Untersuchung von H^{-1}(G,K*) für biquadratische Erweiterungen algebraischer Zahlkörper. Auf recht elementare Weise lässt sich für gewisse biquadratische Erweiterungen von Q zeigen, dass H^{-1}(G,K*) für G=(Z/2)^2 keineswegs trivial zu sein braucht, wobei in einigen Fällen eine vollständige Bestimmung von H^{-1}(G,K*) möglich ist. Mit der kohomologischen Fassung der Klassenkörpertheorie nach Tate zeigt sich, dass H^{-1}(G,K*) allein von der Anzahl n=n(K/k) der Stellen p von k abhängt, an denen die Zerlegungsgruppe G_p mit G übereinstimmt. Es gilt die Formel H^{-1}(G,K*)=(Z/2)^{n-1}, wobei im Fall n=0 (Z/2)^{n-1}=0 zu lesen ist.

Titel: Die Normeinsgruppen biquadratischer Zahlkörpererweiterungen
Verfasser: Zimmermann, Nadja
Gutachter: Lorenz, Falko Normdaten
Organisation: FB 10: Mathematik und Informatik
Dokumenttyp: Dissertation/Habilitation
Medientyp: Text
Erscheinungsdatum: 2006
Publikation in MIAMI: 04.07.2006
Datum der letzten Änderung: 01.03.2016
Schlagwörter: Biquadratisch; Galoiserweiterungen; Hilbert 90; Norm; Tate-Kohomologie; Zahlkörper; algebraische Zahlentheorie
Fachgebiete: Mathematik
Sprache: Deutsch
Format: PDF-Dokument
URN: urn:nbn:de:hbz:6-62609496741
Permalink: https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:hbz:6-62609496741
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