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Decomposition of simple Cuntz semigroups

Eine einfache und stabil endliche Halbgruppe S in Cu (womit wir die durch die Axiome (O1) bis (O6) charakterisierte Kategorie meinen) ist die Vereinigung der Unterhalbgruppe der kompakten Elemente, hier bezeichnet als C(S), und der Unterhalbgruppe der nicht-kompakten Elemente, hier bezeichnet als D(S). Wir zeigen, dass eine große Klasse von Halbgruppen in Cu, einschließlich der Cuntz-Halbgruppen Cu(A) jeder einfachen, separablen, nicht-elementaren und stabil endlichen C*-Algebra, eine Vorgängerabbildung c_S besitzt, i.e. einen treuen Homomorphismus geordneter Halbgruppen von C(S) nach D(S), so dass c_S(x) = max {y in S : y < x } für alle x ungleich Null in C(S). Wir nennen solche Halbgruppen zerlegbar. Wir definieren Kategorien C, D, zu welchen die Halbgruppen C(S), D(S) gehören,und führen den Begriff einer Verbindungsabbildung c zwischen Halbgruppen C, D aus den Kategorien C, D ein. Wir zeigen, dass die Kategorie solcher Tripel (C, D, c) mit entsprechenden Morphismen äquivalent zur vollen Unterkategorie der einfachen und zerlegbaren Halbgruppen in Cu ist.

A simple and stably finite semigroup S in Cu (by which we mean the category characterised by axioms (O1) to (O6)) is the union of the subsemigroup of all compact elements, which we call C(S), and the subsemigroup of all noncompact elements (and 0), which we call D(S). We show that a large class of semigroups S in Cu, including the Cuntz semigroups Cu(A) of every simple, separable, nonelementary, and stably finite C*-algebra A, admit a predecessor map c_S, a faithful homomorphism of ordered semigroups from C(S) to D(S) such that c_S(x) = max {y in S : y < x } for all nonzero x in C(S); we call such a semigroup decomposable. We then describe categories C, D of which the semigroups C(S), D(S) are objects, and introduce the notion of a composition map c between simple semigroups C, D in the categories C, D respectively. We show that a category of such triples (C, D, c) with appropriate morphisms is equivalent to the full subcategory of simple and decomposable semigroups in Cu.

Titel: Decomposition of simple Cuntz semigroups
Verfasser: Engbers, Martin GND
Gutachter: Cuntz, Joachim GND
Organisation: FB 10: Mathematik und Informatik
Dokumenttyp: Dissertation/Habilitation
Medientyp: Text
Erscheinungsdatum: 2015
Publikation in MIAMI: 13.02.2015
Datum der letzten Änderung: 27.07.2015
Schlagwörter: C*-Algebra; Cuntz-Halbgruppe; zerlegbar; Vorgänger; Verbindungsabbildung; Kategorieäquivalenz; Elliott-Invariante
C*-algebra; Cuntz semigroup; decomposable; predecessor; composition map; category equivalence; Elliott invariant
Fachgebiete: Mathematik
Sprache: Englisch
Format: PDF-Dokument
URN: urn:nbn:de:hbz:6-40359658288
Permalink: https://nbn-resolving.org/urn:nbn:de:hbz:6-40359658288
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Inhalt:
1 Introduction 1
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 The Cuntz semigroup 5
2.1 Construction of the Cuntz semigroup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Properties of the Cuntz semigroup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 The category Cu 11
3.1 Definition and basic properties of Cu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4 Cu(A) as an object of Cu 21
4.1 Basic notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2 Ideal structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.3 Separability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.4 Elementary semigroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.5 Finiteness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.6 Other properties and notational conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5 Quasitraces and functionals on Cuntz semigroups 31
5.1 Functionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.2 Traces and quasitraces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.3 Recovering the Cuntz semigroup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6 Predecessors of compact elements 51
6.1 Decomposability for semigroups in Cu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.2 Predecessors in concrete Cuntz semigroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.3 Predecessors in abstract Cuntz semigroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7 Properties of the predecessor map 61
7.1 The predecessor map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.2 Simple and decomposable Cuntz semigroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
8 Composition and decomposition 71
8.1 Composition of semigroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8.2 Decomposition of Cuntz semigroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
8.3 Morphisms, functoriality, and category equivalence . . . . . . . . . . . . . . . 82
8.4 Construction of semigroups in Cu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
9 Relationship to the Elliott invariant 93
10 The naturality problem 101
11 Bibliography 107