An ample geometry of finite rank

Zil'bers berühmte Trichotomie-Vermutung besagt, dass jede streng minimale Theorie entweder trivial, vektorraumartig oder körperartig ist. Hrushovski widerlegte diese Vermutung und aufbauend darauf definierte Pillay mit Korrekturen durch Evans eine ganze Hierarchie neuer Geometrien. Unlängst hab...

Author: Müller, Isabel
Further contributors: Tent, Katrin (Thesis advisor)
Division/Institute:FB 10: Mathematik und Informatik
Document types:Doctoral thesis
Media types:Text
Publication date:2017
Date of publication on miami:20.03.2018
Modification date:20.03.2018
Edition statement:[Electronic ed.]
Subjects:Modelltheorie; Zil'bers Trichotomie Vermutung; üppige Hierarchie; Hrushovski-Konstruktionen; streng minimale Theorien
DDC Subject:510: Mathematik
License:InC 1.0
Language:English
Format:PDF document
URN:urn:nbn:de:hbz:6-19129622790
Permalink:http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:hbz:6-19129622790
Digital documents:diss_mueller_isabel.pdf
Table of contents:
  • 1 Introduction 11
  • 2 Preliminaries 23
  • 2.1 Some Model Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
  • 2.2 Around Zil’ber’s Conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
  • 2.3 Incidence Geometries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
  • 3 The Construction 53
  • 3.1 Motivation and Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
  • 3.2 The Predimension Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
  • 3.3 The Amalgamation Class . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
  • 3.4 Around Submodularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
  • 3.5 Dimension and Minimal Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
  • 3.6 Amalgamation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
  • 4 The ab-initio structure 75
  • 4.1 Axiomatization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
  • 4.2 Forking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
  • 4.3 Ranks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
  • 4.4 Ampleness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
  • 5 The Finite-Rank Geometry 89
  • 5.1 The Collapse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
  • 5.2 Geometrical Properties of Mμ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
  • 5.3 Saturation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
  • 6 Rank and Ampleness 99
  • 6.1 Coordinatisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
  • 6.2 Description of Forking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
  • 6.3 The Rank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
  • 6.4 Ampleness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
  • 6.5 A new Counterexample . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
  • 7 Groups in Pregeometries 119
  • 7.1 The Group Configuration Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
  • 7.2 Trivial Forking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
  • 7.3 Flat Geometries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
  • 7.4 Groups in Mμ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
  • 8 Bounded Automorphisms 129
  • 8.1 Lascar’s Result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
  • 8.2 In Generalized N-Gons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
  • 8.3 In the 2-Ample Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
  • 8.4 New Simple Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
  • 9 Epilogue 139.